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Neben-, Gegen-, Polardreiecke. Seiten und Winkel 175 
‚ön BC und ist als Winkel der beiden Polardreiecke von ABC mit «' 
‚der a" zu bezeichnen, wenn der Winkel BAC mit « bezeichnet wird. 
Da der Bogen BC mit diesem Winkel gegenläufig ist, so hat man: 
% + «' = 180° und ebenso a + «= 180% Demnach sind die Seiten 
aines Kugeldreiecks die Supplemente zu den entsprechenden Winkeln 
seiner beiden Polardreiecke. Diese für die sphärische Geometrie und 
Trigonometrie gleich fruchtbare Beziehung läßt sich auch stereometrisch 
leicht begründen. 
Die Gegenfiguren spielen ’eine wichtige Rolle beim Nachweis der 
Sätze über Kongruenz und Symmetrie von Dreikanten und sphärischen 
Dreiecken. Die Nebenfiguren gestatten, aus einer Maßbeziehung zwischen 
Jen Seiten oder zwischen den Winkeln eine neue Beziehung derselben 
Art herzuleiten. Mit Hilfe der Polarfiguren gewinnt man aus jedem 
metrischen ‚Satze irgendwelcher Art immer einen neuen, indem man 
jede in ihm auftretende Seite durch das Supplement des gegenüberliegenden 
Winkels, jeden Winkel durch das Supplement der gegenüberliegenden 
Jeite ersetzt. Von den beiden einander so zugeordneten Sätzen kann 
passend jeder als der Polarsatz des andern bezeichnet werden, Man 
zelangt so zu einer durchgreifenden Dualität der Maßbeziehungen. 
[m folgenden sind, zur Erleichterung der Übersicht, die Polarsätze neben- 
ainander gestellt. Überall ist nur das Kugeldreieck genannt, da es über- 
Aüssig schien, beständig darauf hinzuweisen, daß die Sätze auch für das 
Dreikant gültig sind. 
3. Maßbeziehungen zwischen den Seiten und zwischen den 
Winkeln. Wir halten es für passend, die folgenden zwei Paare von Polar- 
zätzen, deren Beweis überaus einfach ist, der Behandlung von Kongruenz 
and Symmetrie vorauszuschicken, 
(1) Der Umfang eines Kugel- 
Jreiecks ist kleiner als ein Haupt- 
kreis. 
(2) Die Summe je zweier Sei- 
;en eines Kugeldreiecks ist größer 
als die dritte. 
(3) Die Summe der Winkel 
aines Kugeldreiecks ist größer als 
180° 
(4) Die Differenz je zweier 
Winkel eines Kugeldreiecks ist 
kleiner als der Außenwinkel am 
dritten. 
Dem Satze (1) wird man für Dreikante natürlich die Form geben: 
der Umfang ist kleiner als 360°. 
Die Übergänge zwischen (1) und (3) sowie zwischen (2) und (4) 
Jurch Polarisation vollziehen die Schüler selbst spielend. Durch Be- 
autzung von Nebendreiecken findet man aber ebenso leicht die Übergänge 
ron (1) zu (2) und von (3) zu (4) und umgekehrt. Man kann sich dem- 
nach auf den direkten Nachweis irgendeines der vier Sätze beschränken. 
Der Satz (4) ist wohl immer als Polarsatz aus (2) hergeleitet 
worden und kommt daher als Ausgangspunkt nicht in Betracht. 
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