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Kongruenz und Symmetrie von Kugeldreiecken 177 
alle zugleich erfüllt sind. Sie heißen, ebenso wie die ihnen zugeordneten 
Dreikante, kongruent. 
Die sechs Beziehungen können auch bei zwei gegenläufigen Drei- 
‚cken ABC und DEF bestehen. Es ist dazu hinreichend und notwendig, 
iaß DEF dem Gegendreieck von 4 BC kongruent ist. Die beiden Drei- 
scke heißen dann symmetrisch. 
Hinreichende Bedingungen für die Kongruenz.gleichläufiger Kugel- 
Jdreiecke sind immer auch hinreichend für die Symmetrie von gegen- 
(äufigen und umgekehrt. Es genügt also, daß man für bestimmte Be- 
Jingungen entweder Kongruenz oder Symmetrie nachweist. 
Wenn zwei Kugeldreiecke kongruent sind, so sind es auch ihre Polar- 
dreiecke, und zu symmetrischen Dreiecken gehören auch wieder 
symmetrische Polardreiecke. Aus einem Satze über Kongruenz oder 
Symmetrie erhält man also den zugehörigen Polarsatz, indem man ein- 
’ach die vorkommenden Seiten durch die entsprechenden Winkel ersetzt 
and umgekehrt. Zugleich ist das Wort: rechtwinklig zu ersetzen durch: 
rechtseitig, und umgekehrt. 
Von den hier folgenden acht Sätzen wird man die beiden ersten 
Paare von Polarsätzen: (1), (5) und (2), (6) wohl immer besprechen. 
Die beiden andern Paare beziehen sich nur auf rechtwinklige oder recht- 
zeitige Dreiecke und können auch für die sphärische Trigonometrie zurück- 
yestellt werden. . 
Kugeldreiecke sind kongruent oder symmetrisch: 
(1) Wenn sie übereinstimmen (5) Wenn sie in einer Seite 
'n zwei Seiten und dem ein- und denbeiden anliegenden Winkeln 
yeschlossenen Winkel. übereinstimmen. 
(2) Wenn sie in den Seiten (6) Wenn sie in den Winkeln 
ibereinstimmen. übereinstimmen. 
Kongruent oder symmetrisch sind: 
/3) Rechtwinklige Kugeldrei- 
scke, die in der Hypotenuse und 
ainer von 90° verschiedenen Kathete 
ibereinstimmen. 
(7) Rechtseitige Kugeldrei- 
scke, die im Gegenwinkel der 
rechten Seite und einem von 90° 
verschiedenen zweiten Winkel über- 
einstimmen.’ 
(4) Rechtwinklige Kugeldrei- (8) Rechtseitige Kugeldrei- 
scke, die in der Hypotenuse und ecke, die im Gegenwinkel der 
zinem von 90° verschiedenen Winkel rechten Seite und einer von 90° ver- 
ibereinstimmen, schiedenen Seite übereinstimmen. 
Die Sätze (1) und (5) findet man in der Regel unabhängig von- 
ainander an gleichläufigen Kugeldreiecken oder Dreikanten durch 
jas aus der Planimetrie bekannte Deckungsverfahren begründet. Eis 
dient mindestens nicht zur Belebung des Unterrichts, wenn man das 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II 
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