1892 8 10. Dreikante und sphärische Dreiecke 
ist mit (x) oder (180°) zu bezeichnen, je nachdem man die natürliche 
Winkeleinheit oder den Grad anwendet. 
Vom Kugeldreieck gilt nun der Satz, daß es flächengleich ist mit 
dem Winkelfelde, das zu dem halben Überschuß seiner Winkelsumme 
über x oder 180° gehört. 
Um diesen Satz zu begründen, hat man vorher zu zeigen, daß jedes 
Kugeldreiecek ABC mit seinem Gegendreieck 4, B,C, zerlegungsgleich 
ist. Zu diesem Zweck verbindet man in beiden Dreiecken die Mittelpunkte 
M, M, der Umkreise mit den Ecken. Liegt nun M innerhalb des Dreiecks 
ABC, so sind die drei gleichschenkligen Dreiecke ABM, BCM, CAM 
mit ABC gleichläufig. Das gilt auch von den zwei gleichschenkligen 
Dreiecken, die man erhält, wenn M auf einer der Dreiecksseiten liegt. 
Fällt aber M in das Nebendreieck A,BC, so sind von den genannten 
Dreiecken das erste und dritte mit ABC gleichläufig, das zweite dagegen 
ist mit ihm gegenläufig. Nimmt man in diesem Falle das zweite Dreieck 
negativ, so kann allgemein gesagt werden, daß ABC gleich der Summe 
der drei gleichschenkligen Dreiecke sei. Das Gegendreieck A, B, C, ist 
mit ABC gegenläufig, also ist 4,C,B, mit ihm gleichläufig, und die 
Teildreiecke B,4,M,, C,B,M,, A,C,M, sind der Reihe nach mit den 
oben genannten kongruent. Also ist ABC mit seinem Gegendreieck 
zerlegungsgleich, 
Nun ist leicht zu übersehen, daß zwei Winkel eines Kugeldreiecks 
und der Scheitelwinkel des dritten mit ihren sphärischen Feldern zu- 
sammen die Halbkugel bedecken und überdies noch die Fläche des Dreiecks 
und die seines Gegendreiecks, daß also stets: 
(«) + (BB) + (7) = (x) + ABC + A.B.C, 
ist. Beiläufig wird dadurch bestätigt, daß die Summe der Winkel x oder 
180° übertrifft. Bezeichnet man den Winkelüberschuß mit & und berück- 
sichtigt die Zerlegungsgleichheit von Gegendreiecken, so folgt, daß 
ABO = (6) = (3) ist. 
Bezeichnet man wie früher die Winkelsumme des Dreiecks mit 26, 
so wird z = 6— 90°. Verbindet man nun den Mittelpunkt des Um- 
kreises vom Nebendreieck 4, BC mit den Ecken B und C, so entsteht 
ein gleichschenkliges Dreieck, an dessen Grundlinie BC zwei Winkel 
vom Betrage 180° — 6 liegen, wie man durch eine leichte Rechnung 
findet. Der Betrag wird negativ, wenn der fragliche Kreismittelpunkt 
in das Dreieck ABC fällt. Zieht man dann von B oder C aus nach der 
Seite des Nebendreiecks hin die Tangente seines Umkreises, so steht 
diese auf dem Berührungsradius senkrecht und bildet daher mit der Ver- 
längerung von BC über B oder € hinaus den Komplementwinkel zu 
180° — 6 oder den Winkel 6 — 90%.