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Aufgabe der Trigonometrie 
zegebenen Stücken eines Dreiecks weitere Stücke berechnet werden können. 
Er soll auch zeigen, daß die Rechnung für den Aufbau der Geometrie 
von Bedeutung ist, muß aber auch solche Entwicklungen in sich auf- 
nehmen, bei denen der Gebrauch der Kreisfunktionen vermieden werden 
kann. 
3. Windschiefe Gerade. Unsere erste Aufgabe muß es sein, die 
Winkelfunktionen, deren sich die Trigonometrie bedient, zu definieren 
ınd ihre Gesetze herzuleiten. Entsprechend den Prinzipien, die wir im 
arsten Bande befolgt haben, halten wir es auch hier für angebracht, 
liese Aufgabe zuerst rein wissenschaftlich, ohne jede Beziehung auf den 
Interricht zu lösen. Wir besprechen daher an erster Stelle die Methode 
aach der Möbius diese Funktionen einführt und die für sie geltenden 
Gesetze begründet. Diese Methode stützt sich auf einen wichtigen Satz, 
der nicht nur für die Ebene, sondern auch im Raume gilt. Wir glauben 
diesen Satz zugleich in voller Allgemeinheit herleiten zu sollen, müssen 
zu diesem Zwecke aber einige stereometrische Betrachtungen voraus- 
schicken. Dadurch gewinnen wir aber auch einen einfachen und natür- 
lichen Zugang zu den Grundformeln der sphärischen Trigonometrie. 
Sobald einer Geraden g ein fester Sinn beigelegt ist, können wir jede in 
ihr enthaltene Strecke mit einem: bestimmten Vorzeighen versehen ([. $ 4, 1. S. 57). 
Sind A und B zwei Punkte in einer solchen Geraden g, so erhält die Strecke AB 
Jas positive oder das negative Vorzeichen, je nachdem die Richtung von 4 nach B 
mit der Richtung der Geraden g übereinstimmt oder ihr entgegengesetzt ist. 
Wir betrachten jetzt zwei verschiedene Gerade g, h und legen jeder einen festen 
Sinn bei. In g nehmen wir zwei Punkte A, B und in h zwei Punkte €, D so an, 
daß die Richtung der Strecke AB mit der von g und die Richtung der Strecke CD 
mit der von h übereinstimmt. Nachdem auch noch dem Raume ein fester Sinn bei- 
zelegt ist (I. 8 6, 3. S. 104), kommt auch dem Tetraeder A BCD ein bestimmter Sinn 
zu, der entweder mit dem des Raumes übereinstimmt oder zu ihm entgegengesetzt 
ist. Ersetzt man die Punkte 4, B durch zwei andere Punkte A’, B'’ von g und die 
Punkte C, D durch zwei andere Punkte C’, I’ von h, läßt aber die Richtung A’ B’ 
mit der Richtung AB und die Richtung C’ D' mit der Richtung C.D übereinstimmen, 
30 haben auch die Tetraeder ABC.D und A’ B'C'’D' denselben Sinn. Diesen dürfen 
wir daher als den Sinn des Geradenpaares (g, h) ansehen, 
Wir wollen jetzt im Anschluß an I. 8 4, 7. und 8 6, 10. die Bedingungen angeben, 
ınter denen zwei Geradenpaare g, h und k, I als kongruent betrachtet werden 
dürfen. Diese Bedingungen dürfen wir in folgender Weise aussprechen: Nachdem 
auf den Geraden des ersten Paares irgendein System von Punkten ganz beliebig 
gewählt ist, muß es möglich sein, jedem dieser Punkte einen Punkt auf dem zweiten 
Geradenpaare so zuzuordnen, daß die aus den Punkten des ersten Systems be- 
stehende Figur der aus den Punkten des zweiten Systems gebildeten Figur kon- 
zruent ist. Um diese Bedingung bequem durch Formeln darstellen zu können, 
wollen wir das Zeichen der Geraden, auf der ein Punkt liegt, jedesmal dem Zeichen 
des Punktes als Marke anhängen. Sollen die Geradenpaare g, h und k%,l kon- 
yruent sein, so müssen sie erstens im Sinne übereinstimmen; zweitens müssen sich, 
s1achdem in g die Punkte A, Bo; «4%3 Gy H, und in A die Punkte JS,, Kı,..., 
M,, N, ganz beliebig gewählt sind, auf % die Punkte A,,B,, Cxy 41 Ayı Hr und 
zuf Z die Punkte J,, K,,..., M,, N, so bestimmen lassen, daß: 
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