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) 8 ı. Wissenschaftliche Begründung der ebenen Trigonometrie 
a) der Größe und dem Zeichen nach 
4.,B,= 4, Bri-.444 GH, = CE 
‚= J,Kı 0005 MN, = MM Nr 
and 
b) dem absoluten Werte nach 
Ad = Aydıs 04044 AN, = A, N, 
HJ, = Hyd, 0 HN, = HN, 
ist. 
Bekanntlich gibt es stets eine Gerade, die zwei gegebene windschiefe Gerade 
rechtwinklig schneidet.. Der Abstand der beiden Schnittpunkte ist die kürzeste 
Strecke, durch die zwei Punkte dieser Geraden miteinander verbunden werden können. 
Unter dem Winkel zweier windschiefen Geraden verstehen wir den Winkel, den 
zwei von einem beliebigen Punkte ausgehende, in der Richtung der Geraden ver- 
laufende Halbstrahlen miteinander bilden. Wenn die Geraden in einer Ebene liegen, 
zo ist entweder der Abstand oder der Winkel gleich null, 
Wir beweisen jetzt folgenden Satz: 
Kongruente Paare von windschiefen Geraden haben gleiche Ab- 
stände und bilden gleiche Winkel. 
Zum Beweise wählen wir 4,, C, als Fußpunkte der gemeinschaftlichen Senk- 
rechten von g, h und nehmen in g einen Punkt B, und in A einen Punkt D, hinzu. 
Weil die Paare g, h und E, Z als kongruent vorausgesetzt werden, müssen sich in £ 
‚wei Punkte A,, B, und in Z zwei Punkte Ci DD; 80 ermitteln lassen, daß ist: 
A,B,=4,B, 0.D,=C,Dy ACC = A,C, 
4A,D,=4,D, BC, =B_C, B_D,=B.D. 
wo in den beiden ersten Gleichungen auch Übereinstimmung in den Zeichen be- 
stehen soll. Daraus geht hervor, daß auch je zwei zusammenstoßende Kanten des 
Tetraeders 4, 5, CD, denselben Winkel miteinander bilden, wie die entsprechenden 
Kanten des Tetraeders 4,B,C,D,. Daher steht auch die Gerade A4,C, auf den 
Geraden k, I senkrecht. Zudem bilden je zwei Flächen des ersten Tetraeders den- 
selben Winkel miteinander, wie die entsprechenden Flächen des zweiten. Daher 
sind auch je zwei Dreikante kongruent, die durch entsprechende Tripel von Kanten 
"estimmt werden. Es sind somit auch die beiden Flächenwinkel (B,, AyCa, D,) und 
Be, 4,C,, Dj) und damit auch die Winkel (g, h) und (k, 7) einander gleich. 
Dieser Satz 1äßt folgende Umkehrung zu: 
Zwei Geradenpaare sind kongruent, wenn sie im Sinne überein- 
stimmen, gleiche Abstände haben und gleiche Winkel bilden. 
Es sei 4, C, die gemeinschaftliche Senkrechte der Geraden g, h und 4,C, die 
zemeinschaftliche Senkrechte der Geraden &, I. Zudem sei in g ein Punkt 5,, in 
h ein Punkt D,, in k ein Punkt B, und in ] ein Punkt D, so angenommen, daß die 
Strecke 4A,B, die Richtung von g, A,B, die von k, CD, die von h und CD, dıe 
von Z hat, und außerdem 4, B, = A.B,, CD, = C,Dj ist. 
Weil die Winkel (g, h) und (k, ZI) einander gleich sind, stimmen die Dreikante 
4, (B, CC, Dr) und 4, (DB, C,Dj) in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel 
überein; sie sind also kongruent. Dasselbe gilt von den Dreikanten C, (D, 4,5.) 
und €, (D,4A,B;). Zudem ist offenbar: ; ; 
A. D,=4,Dpn C,B.=C,B,, also auch BD, = B.D,. 
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