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Windschiefe Gerade 
Ist jetzt £, ein beliebiger weiterer Punkt in g, F”, ein beliebiger Punkt in h, und 
wählt man in % den Punkt E,, in} den Punkt F, so, daß der Größe und dem Zeichen 
nach ist: ; 
A, Bı= AB OF = CF 
30 ergibt sich in gleicher Weise, daß ist: 
4,8, = Ar, CO. Ky= CB, BF = BF, 
DD, E= DE BE l= BE. F,. 
Demnach werden die oben aufgestellten Formeln ganz allgemein befriedigt. 
Zeiläufig geht aus den durchgeführten Entwicklungen hervor, daß das 
Paar g, h dem Paare h, g kongruent ist. 
Wir möchten noch darauf hinweisen, daß zwei Paare von windschiefen Ge- 
raden, die im Winkel übereinstimmen , im Sinne von 1818, 4 (S. 321) als ähnliche 
Piguren betrachtet werden können. Wenn nämlich die windschiefen Geraden g, h 
IJenselben Winkel miteinander bilden wie die windschiefen Geraden k&, 2, so lassen 
sich den Punkten Ayı Bo .... Ho; Sys, N, die beliebig auf g und h gewählt sind, 
jedesmal auf % und Z die Punkte Ar Bay Hai day N, so zuordnen, daß die 
Verhältnisse: 
4A,Bo: A, Busse ‚AH: A.Das 
AT, : Ar Jr 65 A, N, : AN, 
HI, Hyde .., HN: HN, 
sämtlich gleich sind. 
4. Möbius’ Art, den Kosinus zu definieren. Wir gehen von 
zwei Geraden g und h aus und legen jeder von ihnen eine bestimmte 
Richtung bei. Über die gegenseitige Lage dieser beiden Geraden machen 
wir keine Voraussetzung; sie können einer Ebene angehören oder wind- 
schief zueinander liegen. In der Geraden g nehmen wir zwei. Punkt- 
naare 4, B und C, D an. Dabei setzen wir voraus, daß weder die Punkte 
A und B, noch die Punkte C und D zusammenfallen; dagegen darf einer 
der Punkte A, B mit einem der Punkte C, D identisch sein. Von den 
Punkten A, B, C, D fällen wir die Senkrechten AA,, BBı, CC,, DD; 
auf die Gerade h. Den Strecken AB, CD, A,B,, C,.D, legen wir je 
Jie durch die Richtung der Geraden g und h bestimmten Zeichen bel. 
Alsdann besteht der Größe und dem Zeichen nach die Proportion: 
AB: AB=C,D,: CD. 
Diese Proportion können wir durch die Gleichungen ersetzen: 
A,B, = AB-g@ (g, h) C,D,=CD-g (9, h) 
indem wir unter @ (g, h) eine Größe verstehen, die nur von den Geraden 
g, h und den ihnen beigelegten Richtungen abhängt. 
Um diese Behauptung zu beweisen, betrachten wir zuerst den Fall, 
daß die Punkte 4,, B, in einen Punkt 0 zusammenfallen. Liegen zudem 
lie Geraden g und h in einer Ebene, so durchschneiden sie sich im 
Punkte O rechtwinklig. Wenn aber unter der gemachten Annahme die 
Geraden windschief zueinander sind, so steht die Gerade 4 senkrecht auf 
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