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3 8 1. Wissenschaftliche Begründung der ebenen Trigonometrie 
ler Ebene (0, g). In beiden Fällen geht die Senkrechte, die von einem 
seliebigen Punkte der Geraden g auf die Gerade h gefällt wird, durch 
den Punkt O0. Somit fallen auch die Punkte C, und D, mit 0 zusammen. 
Unter der gemachten Annahme ist also @ (g, h) = 0. 
Indem wir von diesem Ausnahmefalle absehen, legen wir durch 
lie Punkte 4,, B,, C,, D, die zu h senkrechten Ebenen «, ß, 7, 0 und 
wenden auf die Punkte A4,, B,, C,, D, und die Ebenen «, ß, 7, 0 die An- 
ordnungssätze an (I. 81, 4 S.9). Daraus geht hervor, daß die Verhält- 
nisse 4,B,: AB und C,D, : CD im Vorzeichen übereinstimmen. 
In der Richtung der Geraden h ziehen wir durch 4 die Gerade N 
and durch C die Gerade h". Trifft A’ die Ebene ß in B' und ZW” die 
Ebene & in D', so ist der Größe und dem Zeichen nach 4, B, = AB' 
und CD, = CD'. Zugleich sind aber auch die Dreiecke BAB' und 
DCD' einander ähnlich, also ist auch AB': AB=CD':CD. Daraus 
folgt die Proportion 4, B,: 4B=C,D,: CD, die bewiesen werden sollte. 
Aus den beiden Sätzen: 
Auf gleichgerichteten Geraden werden durch parallele Ebenen 
gleiche Strecken abgeschnitten, 
and: 
Eine Ebene, die auf einer Geraden senkrecht steht, bildet auch 
mit allen parallelen Geraden rechte Winkel, ; 
zeht unmittelbar der Satz hervor: 
Die Funktion @ (g, h) ändert sich nicht, wenn man jede der 
beiden Geraden durch eine gleichgerichtete Gerade ersetzt. 
Wir beweisen jetzt, daß © (g, h) ungeändert bleibt, wenn man g, / 
durch ein kongruentes Geradenpaar ersetzt. 
Da der Beweis keine Schwierigkeit macht, wenn die Geraden eines 
jeden Paares in einer Ebene liegen, so beschränken wir uns auf den Fall, 
Jaß die Geraden der kongruenten Paare g, h und k, I je windschief zu- 
sinander liegen. Dann wählen wir in g den Punkt 4, in h den Punkt 
A,, in k den Punkt C und in Z den Punkt C, so, daß 4.4, die gemein- 
schaftliche Senkrechte der Geraden g, h und CC, die gemeinschaftliche 
Senkrechte der Geraden k, Z ist. Von einem beliebigen zweiten Punkte 
B auf g fällen wir auf hA die Senkrechte BB,.. Wegen der Kongruenz 
der Geradenpaare ist AA, = CC,. Auch läßt sich aus diesem Grunde 
auf % ein Punkt D und auf 7 ein Punkt D, so ermitteln, daß der Größe 
und dem Zeichen nach AB = CD, A, B, = CD, und absolut genommen 
AB, =CD,, A‚B=C,D, BB, = DD, ist. Da aber auch < C, DD 
= 4, B, B sein muß, ergibt sich: 
p (g, h) = A,B,: AB, gp(k, D=C,D,: CD, also: g (g, h) = @ (k, 0). 
Indem wir die bewiesenen Sätze zusammenfassen, erhalten wir das 
Ergebnis: 
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