242 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
Nummer bewiesene Lehrsatz zeigt, immer kleiner als die Zone. Man 
kann aber auch eine Fläche hinzunehmen, die ebenfalls aus ” Kegel- 
mänteln besteht, für jeden Wert von “ größer ist als die Zone, aber an 
sie immer näher heranrückt, je größer die Zahl % wird. Die beiden in 
dieser Weise gebildeten Reihen von Flächen haben einen gemeinsamen 
Grenzwert, und dieser stellt den Inhalt der Zone dar. 
Zu dem Ende gehen wir auf die Entwicklungen in 8 12,8 S. 220 zurück. 
Der Bogen AB eines Kreises (0) r, der durch seine Umdrehung um einen 
Radius O.M die vorgelegte Zone beschreibt, wird in % gleiche Teile zerlegt 
in den Punkten 4;, 43)... An 1. Die Fußpunkte der Senkrechten, die 
ron. den Punkten 4, Ay, 4z,... An 1, B auf die Gerade OM gefällt 
werden können, sollen der Reihe nach CO, C,, Cr, ... Cn—1, D sein. Wir 
setzen CD = h, CD, = hy, 0,C, = Ay. .,Cn—1D = An, und bezeichnen 
mit 09» die Länge der Senkrechten, die von O auf irgendeine Sehne 
Ay_1ı 4, gefällt werden kann. Dann ist, wie wir gesehen haben, der 
[nhalt der Fläche, die durch den Linienzug 44,4, ... 4.1 .B bei seiner 
Umdrehung um OM beschrieben wird, gleich 2x0„h. 
Jetzt legen wir in den Punkten 4, 4,, 4,,... 4.1, B die Tangenten 
an den Kreis. Die in den Punkten 4,_; und 4, für v= 1, 2,... n an- 
gelegten Tangenten mögen einander in E, treffen. Man verlängere noch 
E,A und E„B je um sich selbst bis 4' und B'. Nennt man €’ und D' 
Jie Senkrechten, die von A' und B' auf die Gerade 0OM gefällt werden, 
and bezeichnet man 0’ D' kurz mit y'„, so ist die vom Linienzuge A’ E, Fo... 
E„_,B' beschriebene Fläche gleich 2x71%'„.. Nach dem letzten Lehrsatz 
Jer vorigen Nummer liegt die Kugelzone zwischen den beiden Größen 
2monh und 2xrn'„. Nun bleibt 9, <r und n'„ > h. Da aber bei un- 
begrenzter Vergrößerung von x die Strecke 9„ immer näher an 7 und 
die Strecke n', immer näher an h herankommt, erhält man für den Inhalt 
der Zone den Wert 2xrh. 
Man kann sich von dem angeführten Lehrsatze unabhängig machen, 
wenn man folgende Sätze hinzunimmt: > 
Für m > %n ist 9m > On und nn < N'n. Zudem ist: 
lim 92 = r, lim n'm =h. 
Diese Beziehungen lassen sich aus bekannten Lehrsätzen der Plani- 
metrie herleiten. Bezeichnen wir jetzt die Umdrehungsflächen, die aus 
eingeschriebenen Linienzügen hervorgehen, je nach der Anzahl der 
Strecken mit E,, und bringen wir ebenso die Flächen U, mit um- 
geschriebenen Linienzügen in Verbindung, so erhalten wir zwei Reihen 
von Größen: Er Bay Bay Bay sn 
Un Ur Usy..s Un). 4) 
die folgenden Gesetzen gehorchen: