250 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d. Oberfläche von Körpern 
das zweite e’' Ecken, f’ Flächen und k&’ Kanten, so ist e’=3e, f'= e+f=3e+ 2, 
k'=k-+3e= Ze. Auch dieser Prozeß läßt sich unbegrenzt fortsetzen. Man muß be- 
weisen, daß man auf diese Weise nur konvexe Polyeder erhält, daß die einzelnen 
Grenzflächen beliebig klein gemacht werden können und daß man bei den beiden 
angegebenen Prozessen die Oberfläche eines umgeschriebenen Polyeders beliebig 
nahe an die Oberfläche eines eingeschriebenen Polyeders bringen kann. 
Wir weisen kurz auf eine zweite Methode hin, die es uns gestattet, in und um 
eine Kugel konvexe Polyeder in der Weise zu beschreiben, daß die sämtlichen 
Flächen unbegrenzt verkleinert werden können. Auf einem Durchmesser MXN der 
Kugel (O)r nehmen wir nach einem gewissen Gesetze m — 1 Punkte C,, Co, Oss... Cap 1 
an, errichten in jedem von ihnen die auf M N senkrecht stehende Ebene und schneiden 
lurch jede der auf diese Weise erhaltenen Ebenen %,, 9, Pa, --- PP 1 208 der Kugel 
3inen Kreis aus. Auf diese Weise mögen auf der Kugel die Kreise K,, K,, Ko,... KK, _ 
gefunden ‚werden. Zudem lassen wir in der Geraden MN n Halbebenen F,, ,, 
P., ... 3 begrenzt sein, von denen je zwei aufeinander folgende denselben Winkel 
miteinander bilden sollen. Wir verlangen also, daß die Winkel (F,, P,), (PP, P), 
.. (FF, F,) sämtlich gleich dem nten Teile von vier Rechten sind, Indem wir den 
Schnittpunkt des Kreises K, mit der Halbebene F, mit 4 dc bezeichnen, wird der 
Unfang des Kreises K, durch die Punkte Ay, vr Aua Ay Pa Au, „in n gleiche 
Teile zerlegt. Die vier Punkte Au, „1 Au, xx Autkiy+p Aytı,m wo die Marke u 
die Werte 1, 2, 3, ...m — 2 annehmen und für v = n die Marke v +1 durch 1 er- 
setzt werden soll, liegen jedesmal in einer Ebene und bilden die Ecken eines Tra- 
sezes. Wir verlangen noch, daß m und » größer als zwei sind. Dann bilden bei passen- 
der Wahl des Gesetzes, nach dem die Punkte C,, ...C„_1 auf MN liegen sollen 
die genannten Trapeze im Verein mit den Dreiecken MA, , d, „+1 und NAy_zı', 
Am 1, y»+1 ein konvexes Polyeder, das der Kugel eingeschrieben ist. In den 
Punkten X, N stoßen je n und in jedem Punkte Ay „ vier Flächen zusammen. Wir 
können aber auch in den Punkten MX, N und den sämtlichen Punkten Ay, „ die 
Tangentialebene an die Kugel legen. Dadurch wird auf jeder der beiden ersten 
Tangentialebenen ein n-Eck und auf der im Punkte 4, angelegten Tangential- 
ebene ein Viereck bestimmt. Diese Flächen bilden ein konvexes Polyeder, das der 
Kugel umgeschrieben ist. 
Man kann annehmen, daß der Durchmesser MN durch die Punkte C,, C,, 
...Cn_, inm gleiche Teile geteilt wird. Man kann aber auch verlangen, daß jeder 
durch die Punkte M und N begrenzte Halbstrahl der Kugel durch die Ebenen g@,, ©, 
«O1 in m gleiche Teile zerlegt wird, In beiden Fällen nähern sich bei un- 
begrenzter Zunahme der Zahlen m, ” die Oberflächen der ein- und der umge- 
schriebenen Polyeder derselben Grenze, der Oberfläche der Kugel. Dieser Grenz- 
wert ist ganz unabhängig von dem Gesetze, nach dem die beiden Zahlen wachsen. 
Man kann z. B. von irgendeinem Zahlenpaare m, % ausgehen, beide verdoppeln und 
diese Verdoppelung beliebig oft wiederholen. Man kann aber auch erst der Zahl m 
einen festen Wert beilegen und die Zahl n unbegrenzt wachsen lassen. Nachdem 
der Grenzwert bestimmt ist, dem man hierbei immer näher kommt, kann man von 
m zu den Zahlen 2m, 4m, 8m, ... übergehen. Durch die letzte Festsetzung tritt 
diese Wahl der ein- und umgeschriebenen Polyeder in enge Beziehung zu der Me- 
cthode, nach der wir in 813 S. 220 die Oberfläche der Kugel ermittelt haben. 
8. Eine neue Methode, das Inhaltsmaß von krummen 
Oberflächen zu definieren. In einem Vortrage, den Dehn am 6. Juni 
1911 zu Münster i. W. gehalten hat, führt er das Inhaltsmaß der krummen