254 814. Weitere Untersuchungen über d. Rauminhalt u. d Oberfläche von Körpern 
Sind a, b die Abszissen zweier Punkte auf der x- Achse eines rechtwinkligen 
Koordinatensystems, so ist der Inhalt der Fläche, die von dem zwischen diesen 
Punkten enthaltenen Teile der z- Achse, den zugehörigen Ordinaten und dem ent- 
;prechenden Teile der Kurve y= f(x) eingeschlossen wird, gleich dem Integral: 
db 
ff@ da. 
Die Ordinate y' der neuen Kurve läßt sich für hinreichend kleine Werte von & 
in eine Potenzreihe von d entwickeln. Bezeichnet man mit x den Winkel, den die 
‚m Punkte (x, y) an die gegebene Kurve gelegte Tangente mit der x- Achse bildet, 
30 ı1st: 
0 dy\? 
WO) 
Demnach ergibt sich die Länge der Kurve zwischen den Punkten (a, f(a)) und 
'b, F®)) gleich dem Integral 
(az Vı + (4). 
= 
% 
In ähnlicher Weise dürfen wir die Länge einer Raumkurve definieren. Wir 
jeschreiben um jeden ihrer Punkte eine Kugel vom Radius d. Alle diese Kugeln 
werden von einer gewissen Fläche umhüllt. Wenn sich das Verhältnis des von 
dieser Fläche begrenzten Körpers zum Inhalt des Kreises vom Radius d® für hin- 
veichend kleine Werte von @d einem festen Grenzwert nähert, so bezeichnet man 
liesen als die Länge der Linie. 
Statt dessen können wir jeden Punkt der Kurve zum Mittelpunkt eines Kreises 
mit dem Radius d wählen, der in der Normalebene des Punktes liegt. Wir bestimmen 
den Rauminhalt &Q des Körpers, der durch alle diese Kreise gebildet wird, und 
nennen den Grenzwert des Verhältnisses &: x d? für verschwindende Werte von & 
lie Länge der Linie. 
Wir wollen die Länge einer Linie berechnen, die bei Benutzung eines recht- 
winkligen Cartesischen Koordinatensystems durch die Gleichungen : y= go (x), 2= 4 (x) 
bestimmt und durch die Punkte (a, (a), (a)) und (b, 9 (©), w (b)) begrenzt wird. 
Die Normalebene im Punkte (x, y, z) bilde mit der Ebene z=0 den Winkel «. 
Dann ist: 
1 7 2\2 
A Vıt+() + (4)°. 
Die im Punkte (x, o, o) auf der x- Achse errichtete senkrechte Ebene schneidet 
aus dem konstruierten Körper eine Fläche aus, deren Inhalt in erster Annäherung 
yleich x 02:cos« ist. Daher ist der Inhalt dieses Körpers bis auf Größen, die von 
ı1öheren Potenzen von d abhängen, gleich: 
zö: (azVı +4 
A 
Somit ist die Länge der Kurve gleich: 
Ö ? 
(ae Vir(2 (ES)