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2 8 1. Wissenschaftliche Begründung der ebenen Trigonometrie 
wofür wir kurz schreiben können: 
BC:CA:AB= sin (h, k) : sin (k, g) : sin (g, h). 
Somit gehen aus den Gleichungen (10) und (11) die neuen Be- 
ziehungen hervor: 
(12) sin (h, k) cos (g, 1) + sin (k, g) cos ıh, 1) + sin (g, h) cos (k, I) = 0. 
(18) sin (h, £) sin (g, 1) + sin (k, g) sin (h, I) + sin (g, h) sin (k, !) = 0. 
Für die Gültigkeit dieser beiden Gleichungen wird vorausgesetzt, 
laß die Geraden g, h, k in einer Ebene liegen und daß bei der Messung 
ler Winkel (h, k&), (k, g), (g, h) der Drehungssinn beachtet wird. Die 
Formel (12) gilt alsdann für jede Lage der Geraden } und für jeden 
Winkel (g, 0), (h, 7), (k, U) zwischen der positiven Richtung einer der 
ersten Geraden und der positiven Richtung von I. Dagegen setzt die 
Formel (13) voraus, daß auch die Gerade | mit den Geraden g, h, k in 
einer Ebene liegt und daß auch bei der Messung der Winkel (g, 7), (h, 0), 
(k, U) der Drehungssinn Berücksichtigung findet. 
Wir wollen uns jetzt noch von den Beschränkungen freimachen, 
die wir bei der Herleitung eingeführt haben, und die in der Annahme 
bestehen, daß die Geraden g, h, k ein Dreieck einschließen. Wenn zu- 
nächst diese drei Geraden durch einen Punkt gehen, ohne daß zwei von 
ihnen zusammenfallen, so nehmen wir drei mit ihnen gleichgerichtete 
Gerade g', h', X hinzu, die sich in drei verschiedenen Punkten schneiden. 
Für die neuen Geraden gilt die durchgeführte Herleitung. Da aber 
X NW, K) = (Ah, k),..., X (g, U) =(g, 0), ... ist, so behalten die Formeln 
‘12) und (13) auch für die Geraden g, h, k ihre Gültigkeit bei. Wenn 
aber etwa die Geraden h, % parallel sind, so ist sin (h, k) = 0. Stimmen 
diese beiden Geraden außerdem noch in der Richtung überein, so ist: 
sin (h, 0) = sin (k, 1), cos (h, 1) = cos (k, 1), sin (k, g) + sin (g, h) = 0. 
Ähnliche Beziehungen gelten, wenn die Geraden h und k entgegen- 
gesetzte Richtung haben. Damit ist die allgemeine Gültigkeit der Glei- 
ohungen (12) und (13) unter den angegebenen Bedingungen bewiesen. 
In den vorstehenden Entwicklungen sind bereits der Sinus- und der 
Projektionssatz für das ebene Dreieck enthalten. In welcher Weise die 
Formel (12) zu den Grundformeln der sphärischen Trigonometrie führt, 
werden wir später zeigen (vergl. 8 19, 6). Auch das Additionstheorem 
geht aus jeder der beiden Formeln (12) und (13) unmittelbar hervor. 
Zu dem Zwecke nehmen wir an, daß die vier Geraden g, h, k, lin einer 
Ebene liegen. Indem wir < (I, g) = «, (I, h) = b, (l, k) = y setzen, 
dürfen wir (&, h)= 6 — 7, (g,k)= 7 — «a, (h, g) = « — ß voraussetzen. 
Dadurch erhalten wir die Gleichungen: 
(14) sin (ß — 7) cosa« + sin (y — «) cos ß + sin (« — ß) cos y = 0. 
(15) sin (ß — 7) sin « + sin (y — «) sin ß + sin (« — ß) sin y = 0. 
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