258 8 15. Das Cavalierische Prinzip 
p.=g. + 2r., wo r, eine positive oder negative ganze Zahl ist. Demnach 
ist auch dp = g + 2Er,, wie unser Satz behauptet. 
Für ein einfaches Polygon, das aus einem einzigen Zweige besteht, 
bildet sowohl das Innere als auch das Äußere einen zusammenhängenden 
Teil der Ebene. Man kann zwei beliebige Außenpunkte und zwei be- 
liebige Innenpunkte je durch einen Streckenzug verbinden, der mit keiner 
Kante einen Punkt gemein hat. Dieser Satz fällt bei der vorgenommenen 
Erweiterung des Begriffes fort. Wenn z.B. von den Dreiecken ABC 
und DEF jedes im Äußeren des anderen liegt, dagegen das Dreieck 
LMN ganz dem Inneren von ABC angehört, so ist für das aus diesen 
Dreiecken bestehende Polygon nicht nur jeder gemeinschaftliche Außen- 
sunkt der Dreiecke ABC und DEF, sondern auch jeder Innenpunkt 
von LMN ein Außenpunkt, während das Innere des Polygons aus dem 
Dreieck DEF und dem Teil ABC besteht, der dem Dreieck LM N 
nicht angehört. 
Von irgend zwei Einzelpolygonen 2, und &,, die dem einfachen 
Polygon Q angehören, liegt entweder jeder im Äußeren des anderen, oder 
aines von ihnen gehört ganz dem Inneren des anderen an. Der erste 
Fall tritt ein, sobald ein Eckpunkt von £, im Äußeren von £&, und ein 
Eckpunkt von 2, im Äußeren von &, liegt. Wenn dagegen ein einziger 
Eckpunkt von Q, im Inneren von Q, liegt, so gehört das Innere von 
R, ganz dem Inneren von 2, an. Jetzt wählen wir aus den Einzel- 
polygonen Q,, Q,...Q_1> Qır1z +++ Qm diejenigen aus, in deren 
[nnerem das Einzelpolygon Q, liegt; ihre Anzahl betrage d,. Dann ge- 
hört das Innere von &, (mit Ausschluß der in seinem Inneren gelegenen 
Einzelpolygone) dem Äußeren oder dem Inneren von Qan, je nachdem 0, 
gerade oder ungerade ist. Daraus geht die Formel hervor: 
D) =D Q DER A + (— 1) Kan; 
n der das Inhaltsmaß eines jeden Polygons jedesmal durch das Zeichen 
des Polygons selbst angegeben wird. 
Wir können den Beweis für die Richtigkeit dieser Formel auch 
dadurch führen, daß wir für den Sinn, in dem die sämtlichen Einzel- 
polygone durchlaufen werden sollen, eine feste Regel aufstellen. Sobald 
für ein Polygon, das nur aus einem Zweige besteht, der Sinn einer Kante 
angenommen ist, ist der Umlaufssinn des Polygons bestimmt. Um eine 
antsprechende Festsetzung für ein einfaches Polygon zu treffen, das aus 
mehreren Einzelpolygonen gebildet wird, verlangen wir, daß man beim 
Durchlaufen der einzelnen Zweige den anstoßenden Teil des Inneren 
jedesmal an derselben Seite, etwa zur Linken haben soll. Diese Forderung 
Jäßt sich schärfer in folgender Weise ausdrücken. Sollen AB und FG 
zwei Kanten des Polygons sein, soll also B auf 4, G@ auf F folgen, so 
nehmen wir zwei Punkte U und Yin der Weise hinzu, daß die Dreiecke