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Begriffserweiterung für einige Polyeder 261 
Ein Polyeder wird definiert als eine Vereinigung von Polygonen, die in der 
Beziehung zueinander stehen, daß jede Strecke, die irgend einem Polygon als 
Kante angehört, auch Kınte für ein zweites Polygon ist. Zu den Forderungen, die 
in dieser Definition enthalten sind, nimmt man durchweg (vielfach, ohne es aus- 
ülrücklich hervorzuheben) die weitere Forderung hinzu, daß irgend zwei Punkte, 
lie im Innern von verschiedenen Polygonen liegen, durch einen Streckenzug mit- 
3inander verbunden werden können, der im Innern von Polygonen verläuft und nur 
ainzelne Kanten zwischen ihren Endpunkten trifft. Der .aufgestellten Definition 
genünt man aber auch, wenn man mehrere Polyeder (im engeren Sinne) zusammen- 
stellt und ihre Vereinigung wieder als ein Polyeder auffaßt. In diesem Sinne haben 
wir soeben eine Erweiterung mit den Begriffen des Prismas, der Pyramide und des 
Prismatoids durchgeführt. !ndessen nötigen uns die folgenden Untersuchungen 
nicht, den Begriff eines beliebigen Polyeders in gleicher Weise zu erweitern. 
3. Allgemeiner Beweis des Cavalierischen Prinzips. Da ein 
Körper, der von krummen Oberflächen begrenzt wird, als Grenzgestalt 
aines veränderlichen Polyeders aufgefaßt werden kann, so kann auch 
das Raummaß eines solchen Körpers auf das Raummaß von Polyedern 
zurückgeführt werden. Polyeder, die sich durchsetzen, zerfallen in eine 
Reihe von einfachen Polyedern; der Inhalt der ersteren setzt sich aus 
den Inhaltsmaßen der letzteren nach einer Regel zusammen, die von 
Baltzer im Anschluß an die Untersuchungen von Möbius für Polygone 
ausgesprochen ist und unmittelbar auf Polyeder übertragen werden kann 
1.87, 7. 8.134). Demnach braucht auch das Cavalierische Prinzip nur 
für einfache Polyeder bewiesen zu werden, wenn man seine allgemeine 
Gültigkeit erkennen will. 
Das Cavalierische Prinzip vergleicht zwei Körper miteinander, die 
zwischen denselben zwei parallelen Ebenen eingeschlossen sind, und 
setzt voraus, daß jede zu diesen beiden Ebenen parallele Ebene aus 
.hnen gleiche Flächen ausschneidet. Da die Ebenen keiner weiteren Be- 
schränkung unterliegen, so müssen wir an erster Stelle die Flächen 
ıntersuchen, die aus einem einfachen Polyeder durch beliebige Ebenen 
ausgeschnitten werden. Nun ist ein Polyeder konvex, sobald die Schnitt- 
zebilde, die aus ihm durch Ebenen ausgeschnitten werden, sämtlich 
aus je einem einzigen Zweige bestehen. Wir dürfen uns daher nicht auf 
solche Polygone beschränken, sondern müssen auch andere hinzunehmen, 
die mehrere Einzelpolygone umfassen. Da sie aber aus einfachen Polyedern 
ausgeschnitten werden, so haben keine zwei Kanten einen Punkt gemein, 
der zwischen ihren Endpunkten liegt. . Das Schnittgebilde ist also ein 
Polygon von der in Nr. 1 betrachteten Art. Die dort vorgenommene 
Erweiterung stellt sich somit hier als notwendig heraus. 
Jetzt betrachten wir die Schnitte des einen Polyeders mit einer 
Anzahl von Ebenen, die den einschließenden Ebenen E und Z parallel 
sind. Jeder Eckpunkt des Polyeders soll auf einer Ebene dieser Schar 
liegen; es dürfen aber weitere Ebenen derselben Stellung hinzutreten. 
Diese Ebenen ordnen wir im Verein mit den Ebenen E und Z, die auch 
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