270 8 16. Der Eulersche Lehrsatz 
Am beliebtesten scheint folgender Gedanke zu sein. Man geht von einem Poly- 
eder aus, für das der Satz gilt, setzt auf eine seiner Seitenflichen eine Pyramide 
auf und weist nach, daß der Satz gültig bleibt, wenn man diese Pyramide zu dem 
gegebenen Polyeder hinzufügt. Man behauptet, daß man auf diese Weise vom Te- 
'raeder aus allmählich zu jedem beliebigen Polyeder gelangen känn. Da der Satz 
offenbar für das Tetraeder gilt, glaubt man seine allgemeine Gültigkeit bewiesen 
zu haben. 
Es ist aber gar nicht selbstverständlich, daß man durch die angegebene Ope- 
cation zu allen möglichen Polyedern gelangt. In der Planimetrie beweist man, daß 
sich jedes Polygon aus Dreiecken zusammensetzen läßt; hier glaubt man, sich auf 
sine unbewiesene Behauptung stützen zu dürfen. Wenn der Schüler versucht, die 
ihm bekannten Polyeder, etwa das Prismatoid, das regelmäßige Ikosaeder und Dode- 
kaeder, allmählich aus dem Tetraeder aufzubauen, so wird er sehr bald auf Schwierig- 
keiten stoßen, die wahrscheinlich auch der Lehrer nicht beseitigen kann. Es kommt 
hinzu, daß die Kanten der benutzten Polyeder auch Kanten für das neue Polyeder 
oleiben müssen und nicht in Diagonalen übergehen dürfen, wenn der Satz seine 
Gültigkeit nicht verlieren soll. Um das zu erkennen, lassen wir ein Polyeder 
aus den Tetraedern ABCD und PQRS bestehen, indem wir voraussetzen, 
daß das Dreieck PQOR dem Inneren des Dreiecks A BC angehört und die Punkte 
D und S auf verschiedenen Seiten der Ebene ABC liegen. Um dies Polyeder auf 
die angegebene Weise zu erhalten, vereinigen wir zuerst die Tetraeder PQ RS und 
PORED zu einem neuen Polyeder und fügen dann die sechs Pyramiden hinzu, die 
'n D ihren Scheitel haben und deren Grundflächen der Reihe nach die Dreiecke 4 PQ, 
4QB, QBC,QC A, BC A und BA P sind. Indem wir den zwischen den Dreiecken 
ABC und POQER enthaltenen Ebenenteil als eine Fläche des neuen Polyeders an- 
sehen, wird e=8, f=7, k= 12; demnach verliert die Formel (1) ihre Gültigkeit. 
In einigen Lehrbüchern wird die Formel (2) an die Spitze gestellt. Nachdem 
man alle im Polyeder vereinigten Polygone durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt 
nat, fügt man diese Diagonalen zu den Kanten hinzu und betrachtet jedes einzelne 
in dieser Weise erhaltene Dreieck als eine Seitenfläche des Polyeders. Man denkt 
sich demnach das Polyeder aus lauter Dreiecken zusammengesetzt, indem man ge- 
stattet, daß eine Reihe von Dreiecken in derselben Ebene liegt. Alsdann geht man 
von einem beliebigen Eckpunkte aus und läßt ihn, sowie die von ihm ausgehenden 
Kanten und die in ihm zusammenstoßenden Dreiecke weg. Um aus den übrigbleiben- 
den Ecken, Kanten und Dreiecken ein Polyeder derselben Art aufzubauen, muß man 
lie zweiten Eckpunkte der Kanten, die von dem gewählten Punkte ausgehen, so 
lurch Dreiecke verbinden, daß je zwei Dreiecke eine Kante gemein haben. Wenn 
laher in dem gewählten Punkte m” Kanten und somit auch m Dreiecke zusammen- 
stoßen, so bilden die zweiten Endpunkte dieser Kanten ein ebenes oder windschiefes 
m-eck. Um das neue Polyeder zu erhalten, muß man m — 2 Dreiecke hinzufügen. 
Demnach wird die Zahl e durch e—1, die Zahl D durch D—2 ersetzt; es bleibt 
also die Zahl 2e — D ungeändert. Hiermit, so heißt es, kann man fortfahren, bis 
lie Zahl der übrigbleibenden Ecken gleich vier wird. Für das Tetraeder ist aber 
jene Differenz gleich 4. Denselben Wert hat sie hiernach auch für das gegebene 
Polyeder. 
Wir wollen diese Betrachtung einmal auf eine Pyramide anwenden, die über 
einem konvexen n-eck ABCD... MN errichtet ist. Um diese Pyramide aus lauter 
Dreiecken zusammenzusetzen, zerlegen wir die Grundfläche durch die von 4 aus- 
gehenden Diagonalen in % — 2 Dreiecke. Indem wir die Spitze P und die von ihr 
ausgehenden Dreiecke auslassen, bleiben noch ” Eckpunkte und % — 2 Dreiecke 
übrig. Das Verfahren stellt sich somit in diesem Falle als unzulässig heraus. Gehen 
xir aber von der Ecke A aus. so bilden die zweiten Endnunkte der in ihr zusammen-