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14 & 1. Wissenschaftliche Bedeutung der ebenen Trigonometrie 
wo der Kürze wegen 
DA:-DB-DC _ 
A a° =? 
zesetzt ist. Daraus geht hervor, daß in einem vollständigen Viereck die 
Produkte der Gegenseiten sich verhalten wie die Seiten eines Dreiecks 
Um dieses Dreieck zu erhalten, wählt man einen Eckpunkt des Vierecks 
zum Zentrum einer Inversion; dann entsprechen den drei anderen Eck- 
unkten des Vierecks in der Inversion die Ecken des gesuchten Dreiecks. 
Die Winkel des vollständigen Vierecks bestimmen wir dadurch, 
daß wir jedesmal den ersten Schenkel solange im positiven Sinne drehen, 
bis er mit dem zweiten Schenkel zusammenfällt (vgl. 1. 84, 9. S. 78). 
Hierbei wird jeder Winkel positiv und kleiner als vier Rechte. Indem 
wir beachten, daß die Inversion die Winkel ungeändert läßt (vgl.I. 8 23, 5. 
3. 403), ergeben sich die Beziehungen: 
X B,4A.C, = BDC — BAC 
X CB, 4A, =CDA—-C0BA 
X 4,C,B, = ADB — ACB. 
Jeder Winkel des Dreiecks A,B,C, ist somit gleich der Differenz 
zon zwei Gegenwinkeln des vollständigen Vierecks. Dabei muß man 
Jem Winkel, der der Seite B,C, gegenüberliegt, die Winkel zuordnen, 
lie im vollständigen Viereck über der Seite BC liegen, und zwar so, daß 
der Minuendus in D, der Subtrahendus in 4 seinen Scheitel hat usw. 
Wenn speziell das Viereck 4BC.D ein konvexes Viereck ist, dessen 
Ecken auf einem Kreise liegen, so werden durch eine Inversion, deren 
Zentrum der Punkt D ist, die Punkte 4, B, C durch drei Punkte ,, 
Bı, C, abgebildet, die einer geraden Linie angehören. Da zudem der 
Punkt B im Winkelfelde ADC liegt, so liegt B, zwischen 4, und C,. 
Also ist 4,B, + B.C, = A,C,. Hiernach geht aus den Beziehungen 
(17) die Gleichung (16) hervor. 
Wenn aber umgekehrt ABCD ein konvexes Viereck ist, zwischen 
dessen Seiten und Diagonalen die Gleichung (16) besteht, so wählen wir 
wieder D zum Zentrum einer Inversion und ordnen hierin den Punkten 
A, B, C die Punkte 4,, B,, C, zu. Dann folgt aus der Verbindung 
der Gleichungen (17) mit der Gleichung (16), daß 4,C, = 4,5, + BC, 
ist, oder daß der Punkt B zwischen den Punkten A, und C, liegt. Dem 
Kreise, der durch die Punkte 4, B, CU geht, ist also in der Inversion 
sine Gerade zugeordnet. Das ist (nach I. 8 23, 4. S. 400) nur möglich, 
wenn auch das Zentrum D der Inversion auf diesem Kreise liegt. Da- 
durch ist die Umkehrung des ptolemäischen Lehrsatzes bewiesen. 
Hierbei haben wir stillschweigend angenommen, daß die vier Punkte 4, 5, C, D 
in einer Ebene liegen. Möbius hat aber darauf hingewiesen, daß diese Annahme 
überflüssig ist, daß vielmehr jedesmal, wenn zwischen den sechs Strecken, durch 
lie die vier Punkte A. B. C, D paarweise miteinander verbunden werden, die Be- 
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