Der Würfel und das regelmäßige Dodekaeder 315
daß jedesmal das von der einen abgetrennte Dreieck an das von der
andern ausgeschnittene Trapez stößt. Das von diesen vier Diagonalen
gebildete Viereck ist eben, weil die Seiten AD und GH zu BC parallel
sind. Zudem sind die vier Seiten sowie die beiden Diagonalen je einander
zleich. Daher ist das Viereck 4G HD ein Quadrat. Aus unsern Ent-
wicklungen gehen die Lehrsätze hervor:
„Wenn zwei von demselben Punkte ausgehende Diagonalen d in der
Beziehung zueinander stehen, daß das von der einen abgetrennte Drei-
ck an den von der andern ausgeschnittenen Rhombus stößt, so bilden
zie einen rechten Winkel miteinander.“
„In zwei Seitenflächen eines regelmäßigen Dodekaeders, die einander
nicht parallel sind, kann man stets ein Paar von Diagonalen so auswählen,
Jaß sie Gegenseiten eines Quadrates werden. Wenn die Flächen an-
ainander stoßen, so wählt man beidemal die Diagonale, die der gemein-
schaftlichen Kante parallel ist. Wenn aber die Flächen nicht benachbart
sind, so zieht man die Kante, die von der einen zur andern Fläche führt.
Dann wählt man die Diagonalen so, daß jedesmal ein Endpunkt dieser
Kante Eckpunkt des abgeschnittenen Dreiecks wird.“
Um den ersten Teil des zweiten Satzes zu erläutern, gehen wir
von den Fünfecken ABCDE und BCHK'G aus. In ihnen liegen der
yemeinsamen Kante BC die Diagonalen AD und GH gegenüber, und
diese sind Geywenseiten eines Quadrates. Dagegen werden die Flächen
ABGI'F und CDIF'H, die weder parallel sind noch einen Eckpunkt
gemein haben, durch die Kante BC miteinander verbunden. Von der
arsten Fläche schneidet die Diagonale AG das gleichschenklige Dreieck
ABG- ab, dessen Scheitel der Punkt B ist. Ebenso ist der Punkt C der.
Scheitel des Dreiecks HCD, das durch die Diagonale DH von der zweiten
Fläche abgeschnitten wird. Auch AG und DH sind Gegenseiten eines
Quadrates.
Aus dem ersten Satze geht hervor, daß die Diagonale AH' auf
AD und ACG,+die Diagonale GD' auf GA und GH, die Diagonale
HA!’ auf HG und HD und die Diagonale DG' auf DH und DA senk-
recht steht. Somit werden wir auf einen Quader AGHD: H'D'A'G!'
geführt, der wegen der Gleichheit seiner Kanten ein Würfel ist. Da
keine zwei Kanten dieses Würfels in derselben Seitenfläche des Dode-
kaeders liegen, so gehört jeder Seitenfläche eine seiner Kanten an. Der
Würfel ist aber bestimmt, sobald man eine seiner Kanten gewählt hat.
Somit ist die Anzahl der Würfel, die in der angegebenen Weise einem
vegelmäßigen Dodekaeder eingeschrieben werden können, ebenso groß,
wie die Anzahl der Diagonalen eines Fünfecks. Daraus fließt der Satz:
Aus den zwanzig Eckpunkten eines regelmäßigen Dodekaeders lassen
sich auf fünf verschiedene Weisen acht so auswählen, daß sie die Ecken
eines Würfels bilden.
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