318 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
Da X CBC'=90°, BC ADHG und BC'=d"=d+a ist, hat 
die Kante BC von der Ebene ADH den Abstand za. Man braucht 
daher das Fünfeck ABCDE nur so an die Kante AD anzulegen, daß 
der Abstand der Strecke BC von der Ebene ADH gleich der halben 
Seite AB ist. Auch das ist nur auf eine einzige Weise möglich. 
Man kann aber auch das Fünfeck ABCDE so an die Kante AD 
anlegen, daß der Punkt X und mit ihm die Punkte 5, € in die Umkugel 
des Würfels fallen. 
Ferner kann man die Konstruktion auf die Tatsache gründen, daß 
die Strecke BC senkrecht über der Mittellinie der Parallelen AD und 
7 H liegt. 
Endlich kann man zwei regelmäßige Fünfecke benutzen, von denen 
das eine die Strecke AD und das andere die Strecke GH als Diagonale 
hat, und ihnen eine solche Lage geben, daß die Seiten, die diesen 
Diagonalen parallel sind, zusammenfallen. Indem man alsdann die 
yemeinschaftliche Seite mit BC, das eine Fünfeck mit ABCDE und 
das andere mit HCBGK' bezeichnet, sind auch die Punkte B, C, E, K' 
Eckpunkte des gesuchten Dodekaeders. 
Jede der angegebenen Konstruktionen führt auf zwei verschiedene 
Dodekaeder, Das tritt bei unserer Darlegung aus dem Grunde zurück, 
weil wir für die Eckpunkte eine feste Bezeichnung angewandt haben. 
Es seien jetzt I und II zwei Grenzflächen des Würfels, die in der 
Kante g zusammenstoßen. An den Würfel legen wir das regelmäßige 
Fünfeck ABCDE, dessen Diagonale gleich g ist, so an, daß AD mit g 
zusammenfällt. Alsdann kann man die Strecke BC entweder über das 
Quadrat I oder über das Quadrat ZZ legen. In beiden Fällen bestimmt 
man die Lage von BC durch eine der aufgestellten Forderungen und erkennt, 
daß die beiden hiernach erhaltenen Dodekaeder nicht zusammenfallen. 
Man kann auch zu dem gegebenen Würfel mehrere kongruente Würfel hinzu- 
aehmen, um die Lage der übrigen Eckpunkte des Dodekaeders zu ermitteln. Um den 
Würfel AD HG: H'G'A'D' beschreibt man die Kugel (O)r. In diese Kugel trägt 
man ein Dreieck CAD ein, in dem AC=4D, << CAD =836°, also AD und CD im 
Verhältnis des goldenen Schnittes stehen. Jetzt beschreibt man in die Kugel einen 
Würfel, der die Strecke AC zur Kante hat. Die Bezeichnung seiner Eckpunkte soll 
so gewählt werden, daß die Quader ADHG: H'G'A'D' und CAKI:K'I'C'A' 
im eigentlichen Sinne kongruent sind, Alsdann läßt sich zeigen, daß HI= AD ist, 
Man kann daher den Würfel auch so der Kugel einbeschreiben, daß eine seiner 
Kanten auf IH fällt, oder mit anderen Worten die Paare B, B' und E, E' von 
Gegenpunkten so bestimmen, daß auch BEIH: I’H'B'E'zu ADHG: H'G'A'D' 
kongruent ist. Jetzt sind auch DB und IK gleich AD und < KDB=990°, Der 
vierte Eckpunkt F des Quadrates KDBF und sein Gegenpunkt F” sind ebenfalls 
Sckpunkte des gesuchten Dodekaeders. 
Da das Dreieck CAD in doppelter Weise in die Kugel (O)r gelegt werden 
kann, wird man von dem Würfel aus auf zwei verschiedene regelmäßige Dodekaeder 
geführt.