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Das rechtwinklige und das spitzwinklige Dreieck 19 
gebildeten Abschnitte p, q hinzuzunehmen. Wenn etwa die Katheten 
gegeben sind, so ergeben sich die Größen «, c, h, p, q mit Leichtigkeit. 
Ebenso macht es keine Schwierigkeit, aus einem spitzen Winkel und 
siner der Strecken a, b, c, h, pn, q die übrigen Strecken zu berechnen. 
Durch zwei von den Strecken h, yo, g ist die dritte bestimmt; dann lassen 
sich aber auch die anderen Stücke des Dreiecks leicht ermitteln. Da 
jeder spitze Winkel des Dreiecks auch in zwei anderen Dreiecken vor- 
kommt, kann man seine trigonometrischen Funktionen auf dreifache 
Weise darstellen. Wenn man bei dieser Übung auch nur auf Sätze ge- 
führt wird, die bereits im „Satz vom rechtwinkligen Dreieck“ enthalten 
sind, hat sie doch aus pädagogischen Gründen einige Berechtigung. 
Uber den Vorschlag, zuerst mit den Funktionen selbst zu rechnen 
und erst später ihre Logarithmen zu benutzen, werden wir unten (Nr. 13) 
im Zusammenhang mit anderen Fragen ausführlich handeln. Hier be- 
merken wir nur, daß es unseres Erachtens genügt, sich auf die Loga- 
rithmen zu beschränken. Wir möchten aber auch an dieser Stelle schon 
ampfehlen, frühzeitig auf die Erleichterungen hinzuweisen, die sich beim 
Gebrauch der Logarithmen erreichen lassen. Wenn z. B. die Katheten 
x, b eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, so ist es am besten, 
zuerst den Winkel x zu ermitteln und dann die Hypotenuse nach der 
Formel: c = a: sin « zu berechnen (vgl. Nr. 13). 
Es ist sehr gut, schon an dieser Stelle Anwendungen zu geben, 
Jamit die Schüler sich frühzeitig von dem Nutzen überzeugen, den die 
neuen Funktionen für derartige Aufgaben bringen. 
3. Das spitzwinklige Dreieck. Die Definitionen der tri- 
gonometrischen Funktionen für spitze Winkel gestatten uns bereits, 
mehrere Beziehungen anzugeben, die zwischen den Seiten und den Winkeln 
aines spitzwinkligen Dreiecks bestehen. Der Sinussatz kann in doppelter 
Weise hergeleitet werden. Wir können erstens die beiden Ausdrücke 
zleich setzen, die wir für jede Höhe erhalten; es ist nämlich: 
2) h=bsiny=csinß, h=csinx=asiny, h=asinfß= bsin«. 
Wir können aber auch den Satz benutzen, daß zwischen einem 
spitzen Peripheriewinkel «, der zugehörigen Sehne a und dem Radius 7 
des Kreises die Beziehung besteht: a = 2r sine. Man beweist diese 
Beziehung, indem man die Sehne einem rechtwinkligen Dreieck an- 
gehören läßt, dessen Hypotenuse ein Durchmesser des Kreises ist; in 
einem solchen Dreiecke liegt der Sehne a der Winkel «x gegenüber. 
Indem man diesen Satz, der auch an sich große Bedeutung hat, 
auf die Seiten eines spitzwinkligen Dreiecks anwendet, nachdem man 
seinen Umkreis (K’)r konstruiert hat, erhält man die Gleichungen: 
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