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Dodekaeder und Tetraeder 325 
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AH und G'’D' Gegenkanten eines regelmäßigen Tetraeders. Hiernach 
kann man leicht das regelmäßige Tetraeder bestimmen, das eine beliebig 
gewählte Diagonale d’ zur Kante hat. 
Durch die zwölf Bewegungen, durch die ein eingeschriebenes regel- 
mäßiges Tetraeder mit sich zur Deckung gebracht wird, wird auch das 
Dodekaeder in seine Anfangslage zurückgeführt. Bei den 60 verschiedenen 
Lagen, in denen das Dodekaeder denselben Ort deckt, nimmt also jedes 
angeschriebene regelmäßige Tetraeder nur fünf verschiedene Lagen an. 
Die zehn Tetraeder zerfallen demnach in zwei Gruppen von je fünf 
in der Weise, daß die derselben Gruppe angehörenden Tetraeder bei 
ainer Bewegung, durch die das Dodekaeder in sich übergeführt wird, 
aus ihrer Gruppe nicht heraustreten. 
Das aus fünf regelmäßigen Tetraedern dieser Art bestehende Gebilde 
wird als Stern von fünf regelmäßigen Tetraederr bezeichnet. 
Zu jedem regelmäßigen Dodekaeder gehören.zwei Sterne, die durch den 
Mittelpunkt ineinander gespiegelt werden. 
Die zwanzig Eckpunkte der zu einem Stern gehörenden Tetraeder 
amfassen die sämtlichen Eckpunkte des regelmäßigen Dodekaeders. 
Aber auch die zwanzig Ebenen der fünf Tetraeder des einen Sterns 
fallen mit den zwanzig Tetraederflächen des anderen Sterns zusammen. 
So oft das Dodekaeder in seine Anfangslage zurückgeführt wird, gelangt 
auch das System der zwanzig Ebenen wieder zur Deckung desselben 
Ortes. Demnach schließen die zwanzig Ebenen ein regelmäßiges Iko- 
3aeder ein. In der Tat ist der Punkt 4 Eckpunkt für zwei regelmäßige 
Tetraeder, für die die Gegenflächen in der Ebene C'D'K'HIG" liegen. 
Die Ebene CDKH'I'G ist Polarebene zu 4 an einer bestimmten um 0 
beschriebenen Kugel. Für dieselbe Kugel fällt dann die Polarebene zu 
sinem jeden Eckpunkte des Dodekaeders mit einer der zwanzig Tetraeder- 
sbenen zusammen. Daraus folgt wieder, daß diese Ebenen ein regel- 
mäßiges Ikosaeder bilden. 
Die zwanzig Ebenen lassen sich noch in anderer Weise bestimmen. 
{m Eckpunkte A treffen sich die drei regelmäßigen Fünfecke ABCDE, 
AEKH'F, AFI'G-B. Die drei Seiten CD, KH’, IT'G, die in diesen 
Fünfecken dem Punkte 4 gegenüberliegen, gehören einer einzigen Ebene 
an, die wir dem Punkte 4 zuordnen können. Ebenso entspricht dem 
Punkte B die Ebene DEFI'K'H. Diese Ebene hat mit der Ebene 
ÜDKH'I'G die Gerade DI’ gemeinschaftlich. Hier ist AB Gegenkante 
von D in dem Fünfeck ABCDE und von I’ im Fünfeck AFI’'GB. 
Daher ist jeder Kante des Dodekaeders die Gerade zugeordnet, durch 
die ihre Gegenpunkte in den beiden an ihr zusammenstoßenden Grenz- 
Aächen verbunden werden, 
In ähnlicher Weise entsprechen den Kanten BC, CD, DE, EA 
der Reihe nach die Geraden EK', AF', BG', CH’. Um sich diese 
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