3926 & 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander
Zuordnung bequem zu merken, kann man folgendes beachten. Von jedem
Eckpunkt von ABCDE geht eine Kante aus, die dem Fünfeck nicht
angehört. Zu dem zweiten Endpunkt bestimmt man den Gegenpunkt
und verbindet ihn mit dem ersten Endpunkt der Kante. Mit anderen
Worten: Man läßt von jedem Eckpunkt des Fünfecks A BÜDE diejenige
Diagonale d" ausgehen, deren zweiter Endpunkt nicht dem Fünfeck
A'B'C'D'E' angehört. Dadurch erhalten wir fünf Gerade, die den
Seiten des Fünfecks zugeordnet sind.
Nun schneidet sich die Gerade A F' mit der Senkrechten, die man
vom Mittelpunkte 0 auf die Ebene ABC fällen kann. Dreht man den
Körper um diese Senkrechte, bis die einzelnen Eckpunkte von 4ABCDE
zyklisch ihre Lage vertauschen, so werden auch die Diagonalen A F '
BG’, CH', DI', EK' ineinander übergeführt. Da aber der Punkt, in
dem AF' mit der Drehungsachse zusammenstößt, in Ruhe verbleibt,
gehen auch BG’, CH', DI', EK' durch diesen Punkt. Das ist der
Punkt, der der Ebene ABCDE zugeordnet werden muß.
[In gleicher Weise entspricht jeder Seitenfläche des Dodekaeders
ein bestimmter Punkt, in dem sich fünf Diagonalen d” schneiden. Die
dreißig Diagonalen d" treffen zu je fünf in zwölf Punkten zusammen,
von denen je zwei auf derselben Diagonale liegen. Zwei von diesen
Punkten werden dann als benachbart angesehen, wenn sie derselben
Diagonale d" angehören. Je drei Punkte, die paarweise zueinander
benachbart sind, liegen in einer Ebene, und diese enthält auch die Grenz-
Aächen von zwei regelmäßigen Tetraedern, die dem Dodekaeder ein-
geschrieben werden können. Wir sehen, daß die zwanzig vorhin an-
zegebenen Ebenen ein konvexes regelmäßiges Ikosaeder bilden, und
haben seine Ecken und seine Kanten vollständig bestimmt.
Die Diagonalen d", mit denen eine beliebig gewählte Diagonale d"
zusammenstößt, lassen sich in folgender Weise ermitteln. Man bestimmt
die beiden Seitenflächen des Dodekaeders, von denen jede von dem einen
Endpunkt der Diagonale ausgeht, aber den Gegenpunkt des anderen
Endpunktes nicht enthält. Von den Eckpunkten einer jeden solchen
Fläche 1äßt man jedesmal die Diagonale d ausgehen, die nicht zu einem
Eckpunkt der Gegenfläche führt. Eine von diesen ist jedesmal die ge-
gebene Diagonale; die vier anderen treffen dann beidemal mit ihr in
demselben Punkte zusammen. Geht man etwa von der Diagonale AF”
aus, so ist ABCDE die einzige Grenzfläche, die den Punkt 4, aber
nicht den Punkt 7 enthält. Ebenso hat die Grenzfläche F'IDCH den
Punkt /”, aber nicht den Punkt A’ zum Eckpunkt. Demnach wird
AF' sowohl von den Diagonalen BG, CH', DI', EK', als auch von
den Diagonalen IG, DE', CB', HK geschnitten.
Um die Länge der Kanten des gefundenen Ikosaeders zu ermit-
teln, gehen wir auf die Bezeichnung zurück, die wir in 8 17, 5 (S. 292)
