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Die Diagonalen des Dodekaeders 3929 
Die Diagonalen d’ des regelmäßigen Dodekaeders sind die Diagonalen 
der Quadrate, welche die Grenzflächen der eingeschriebenen Würfel bilden. 
Jeder Würfel enthält zwölf Diagonalen dieser Art. Somit zerfallen die 
Diagonalen d’ in fünf Gruppen von je zwölf in der Weise, daß die zu 
derselben Gruppe gehörenden Diagonalen auf demselben Würfel liegen. 
Speziell wird jede solche Diagonale von einer zweiten in ihrer ge- 
meinsamen Mitte unter einem rechten Winkel geschnitten. Die Dia- 
gonalen d’ sind aber auch die Kanten der regelmäßigen Tetraeder, 
die dem Dodekaeder eingeschrieben werden können. Demnach bilden 
sie zwei Gruppen von je dreißig, die zu demselben Stern gehören. 
Die in einer solchen Gruppe vereinigten Diagonalen sind die Kanten 
von fünf Tetraedern, von denen keine zwei eine Ecke oder eine Fläche 
gemein haben. Je zwei Diagonalen, die einander halbieren, gehören 
zu verschiedenen Sternen und somit auch zu verschiedenen Dreißiger- 
gruppen. 
Wir wollen jetzt das regelmäßige Dodekaeder in zwei verschiedenen 
Lagen betrachten, in denen es denselben Ort deckt. Um die zweite 
Lage zu bestimmen, legen wir zwei beliebig gewählten Kanten eine feste 
Richtung bei, indem wir in jeder den einen Grenzpunkt als den Anfangs- 
und den andern als den Endpunkt ansehen. Alsdann verlangen wir, daß 
lie erste Kante den Ort der zweiten einnimmt, indem der Anfangspunkt 
der ersten auf den Anfangspunkt der zweiten und der Endpunkt der 
ersten auf den Endpunkt der zweiten fällt. Weil das Dodekaeder wieder 
zur Deckung mit sich selbst gelangen soll, ist hierdurch die Lage eines 
jeden Eckpunktes bestimmt. 
An erster Stelle sollen die beiden ausgewählten Kanten identisch 
sein; wir verlangen, daß die Endpunkte einer fest gewählten Kante ihre 
Lage vertauschen. Um zu erkennen, in welcher Weise hierbei die übrigen 
Eckpunkte des Dodekaeders ihre Lage verändern, gehen wir von der 
letzten Konstruktion aus, die wir in Nr. 6 angegeben haben. Dement- 
sprechend sollen sich die drei gleichen Strecken UU', VV', WW' in 
Ihrer gemeinschaftlichen Mitte O0 unter rechten Winkeln schneiden. 
Ferner sollen die Strecken 4 A,, BB, CC,, A' A',, B' Bi, C'C[| der Reihe 
nach in den Punkten U, V, W, U', V', W' ihre Mitten haben; zudem 
sollen 4,4 und A4'A][ die Richtung 0 W, B,B und B'E] die Richtung 
OU, und C,C und C’C] die Richtung OV haben. Endlich soll jede 
der Strecken 44,=--=C'C', gleich dem kleineren Abschnitt der 
stetig geteilten Strecke UU' sein. Sollen jetzt die Punkte 4 und A; 
Ihre Lage vertauschen, so kann man den Körper um OU eine Drehung 
von 180° ausführen lassen. Dadurch geht Vin V', Win W' über. 
Somit vertauschen auch die Punkte € und €”, C, und C], sowie die 
Punkte B und B], B' und PB, ihre Lage. Die acht weiteren Eckpunkte 
des Dodekaeders sollen mit K, L, M, N, K', , M', N' bezeichnet 
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