330 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
werden, und zwar sollen X und K',... N und N' je Gegenpunkte von- 
einander sein. Auch soll 44, über dem Quadrat KLMN liegen und 
den Seiten KL und MN parallel sein. Dann vertauschen auch die 
Punkte X und M, L und N, K' und M', L' und N’ je ihre Lage. 
Hiernach ist die neue Lage eines jeden Eckpunktes bestimmt. Wir 
wollen jetzt noch die Diagonalen angeben, die hierbei unter Vertauschung 
ihrer Endpunkte in ihre Anfangslage gelangen. 
Zwei von ihnen, nämlich die Strecken CC’ und C,C', sind Durch- 
messer der Umkugel, die zu Paaren von benachbarten Eckpunkten führen. 
Die beiden Diagonalen BB', und B'B,, die ebenfalls hierbei ihre End- 
punkte vertauschen, gehören zu den Diagonalen d”. Außerdem nehmen 
die Diagonalen KM, LN, K'M', I/N' unter Vertauschung der End- 
gunkte die Anfangslage wieder an. Es sind das vier Diagonalen d’, 
nämlich die Diagonalen der beiden Quadrate, über denen die gegebene 
Kante 4.4, und ihre Gegenkante A4'.4j/ liegen. 
„Wenn ein regelmäßiges Dodekaeder in der Weise zur Deckung 
desselben Ortes gelangt, daß die Endpunkte einer Kante ihre Lage ver- 
tauschen, so vertauschen außerdem die Endpunkte der Gegenkante, so- 
wie die Endpunkte von acht Diagonalen ihre Lage. Von diesen Dia- 
gonalen sind zwei Durchmesser der Umkugel, zwei gehören zu den 
Diagonalen d" und vier zu den Diagonalen d’. Diese Diagonalen können 
sehr leicht bestimmt werden, sobald man den eingeschriebenen Würfel 
hinzunimmt, unter dessen Seitenflächen sich solche befinden. die zu der 
gewählten Kante parallel sind.“ 
Wir wollen jetzt umgekehrt annehmen, ein Eckpunkt des regel- 
mäßigen Dodekaeders werde in die Lage seines Gegenpunktes gebracht. 
Soll dabei der Körper selbst wieder zur Deckung desselben Ortes gelangen, 
so muß auch ein dem ersten benachbarter Punkt die Lage mit seinem 
Gegenpunkte vertauschen. Demgemäß nehmen zwei Durchmesser der 
Umkugel, die zu benachbarten Paaren von Gegenpunkten führen, unter 
Vertauschung der Endpunkte ihre frühere Lage an. Man kann daher 
die neue Lage dadurch erhalten, daß man den Körper um die gemein- 
schaftliche Senkrechte dieser beiden Durchmesser eine Drehung von 
180° machen läßt. Daher gelangen auch die beiden Kanten, die auf 
der Drehungsachse senkrecht stehen, so an denselben Ort zurück, daß 
lie Endpunkte jeder von ihnen ihre Lage vertauschen, Die beiden so 
arhaltenen Lagen des Dodekaeders stehen also in derselben Beziehung 
zueinander, die wir vorhin betrachtet haben. 
Auch jede Diagonale d” kann ihre Endpunkte unter der Bedingung 
vertauschen, daß das Dodekaeder in dieselbe Lage zurückgeführt werden 
soll. Dann kehrt aber auch jede von zwei Gegenkanten in ihre frühere 
Lage zurück. Wir kommen also auch hierbei auf eine Bewegung von 
der vorhin untersuchten Art.