3392  $ 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander . 
Jerselben Gruppe miteinander zur Deckung gebracht werden können. 
Das erkennt man auch, wenn man beachtet, daß die Diagonalen d’ die 
Kanten der eingeschriebenen regelmäßigen Tetraeder sind. Diese zehn 
Tetraeder vereinigen sich aber zu zwei Sternen aus je fünf Tetraedern, und 
nur die Tetraeder desselben Sternes können ineinander übergeführt 
werden, wenn das Dodekaeder wieder denselben Ort einnehmen soll. 
Jede solche Gruppe zerfällt in fünf Gruppen von je sechs, die Kanten 
eines einzigen Tetraeders sind. Jeder Diagonale d’' ordnen sich auf eine 
einzige Weise fünf andere so zu, daß die sechs miteinander verbundenen 
die Kanten eines eingeschriebenen regelmäßigen Tetraeders bilden. Von 
diesem 'Tetraeder gelangt man zu den übrigen Tetraedern desselben 
Sternes, indem man das Dodekaeder auf alle möglichen Arten zur Deckung 
desselben Ortes bringt. Die dreißig Kanten dieser Tetraeder bilden die 
eine, die übrigen dreißig die andere Gruppe der Diagonalen d/’. 
Um allgemein eine zweite Lage zu bestimmen, in der ein regel- 
mäßiges Dodekaeder mit sich selbst kongruent ist, kann man den Ort 
angeben, den hierbei eine Kante oder eine Diagonale d oder eine Dia- 
yonale d’ oder eine Diagonale d” einnimmt. Bei einer Kante oder einer 
Diagonale d oder einer Diagonale d” kann die zweite Strecke derselben 
Art ganz willkürlich gewählt werden; für die Diagonalen d’ muß man 
aber in einer bestimmten Gruppe von dreißig Diagonalen verbleiben. 
Durch die Wahl zweier Diagonalen d ist auch der Sinn bestimmt, in 
dem sie einander decken müssen. Dagegen kann man bei den Kanten, 
den Diagonalen d’ und den Diagonalen d” noch den Sinn frei wählen, 
aach dem die erste Strecke auf die zweite gelegt werden soll. 
Wir wollen dies in anderer Weise ausdrücken. Es seien P, Q, P,, Q, 
rier Kekpunkte eines regelmäßigen Dodekaeders von der Beschaffenheit, 
daß die Strecken PQ und P, Q, einander gleich sind. Wir fragen uns, 
ab man das Dodekaeder so zur Deckung seiner Anfangslage bringen kann, 
daß die Strecke PQ mit P,Q, zur Deckung gelangt. Wenn jetzt PQ 
entweder gleich a oder gleich d” ist, so kann man sowohl den Punkt P 
auf P,, Q auf Q,, als auch den Punkt Q auf P,, P auf Q, legen. Wenn 
PQ=d ist, so kann man entweder P auf P, und Q auf Q, oder P auf Q, 
und Q auf P, legen. Wenn aber PQ=d' ist, so muß eine weitere Be- 
dingung hinzutreten, wenn das Dodekaeder bei der Deckung von PQ 
und P, Q, denselben Ort einnehmen soll; ist diese Bedingung erfüllt, 
so kann man PQ sowohl auf P, Q, als auch auf Q, P, legen. In allen diesen 
Fällen genügt die neue Lage der Punkte P und Q, um die Lage sämt- 
licher Kekpunkte eindeutig zu bestimmen. Wenn aber P und Q und 
somit auch P, und Q, Gegenpunkte voneinander sind, so erhält man 
eine feste Lage nur dadurch, daß man weitere Punkte hinzunimmt. 
Will man jetzt die neue Lage der übrigen Eckpunkte ermitteln, 
so empfiehlt es sich, die eingeschriebenen Würfel hinzuzunehmen. Wenn