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Das Dodekaeder in Deckung mit demselben Orte 333 
die ineinander übergeführten Strecken zu demselben Würfel gehören, 
so geht aus unsern früheren Entwicklungen in einfacher Weise das 
Gesetz hervor, nach dem sich die neue Lage sämtlicher Eckpunkte regelt. 
[m anderen Falle führt man die Eckpunkte einer beliebigen Grenzfläche 
des Dodekaeders zyklisch ineinander über. Dadurch kann man bewirken, 
daß die neue Lage der ersten Strecke zu demselben Würfel in organischen 
Zusammenhang tritt, zu dem die zweite Strecke gehört. Man zerlegt 
auf diese Weise die geforderte Umgestaltung in zwei verschiedene 
Operationen, die einzeln leicht übersehen werden können. 
Aus den eingehenden Untersuchungen, die wir in diesem und dem vorigen 
Paragraphen über das regelmäßige Dodekaeder angestellt haben, geht hervor, daß 
für die Auffindung der Eigenschaften dieses Polyeders zwei Konstruktionen von 
hervorragender Wichtigkeit sind: die eine vereinigt mit einem regelmäßigen Fünf- 
eck fünf kongruente Fünfecke zu einem sogenannten Körbchen; die andere geht 
von einem Würfel aus und legt über jede seiner Seitenflächen in einem bestimmten 
Abstande eine Strecke von vorgeschriebener Richtung und Länge. Zur Herleitung 
der weiteren Eigenschaften dieses Körpers ist bald die eine und bald die andere 
Konstruktion am geeignetsten. 
10. Das regelmäßige Ikosaeder nebst den umgeschriebenen 
regelmäßigen Acht- und Vierflachen. Indem man zu einem regel- 
mäßigen Dodekaeder mit den fünf eingeschriebenen Würfeln und den 
zehn eingeschriebenen regelmäßigen Tetraedern die Polarfigur an einer 
Kugel konstruiert, die um den gemeinsamen Mittelpunkt mit einem be- 
liebigen Radius beschrieben ist, erhält man ein regelmäßiges Ikosaeder 
nebst fünf umgeschriebenen regelmäßigen Oktaedern und zehn um- 
geschriebenen regelmäßigen Tetraedern. Aus unseren Untersuchungen 
über das Dodekaeder gehen demnach folgende Sätze hervor: 
„Aus den Grenzflächen eines regelmäßigen Ikosaeders kann man 
auf fünffache Weise acht so auswählen, daß sie ein regelmäßiges Okta- 
ader bilden. Jedes derartige Oktaeder ist dem Ikosaeder in der Weise 
umgeschrieben, daß in jeder Seitenfläche des Oktaeders eine Seitenfläche 
des Ikosaeders enthalten ist. Jede Kante eines solchen Oktaeders geht 
durch einen Eckpunkt des Ikosaeders hindurch; in ihr schneiden sich 
jedesmal zwei Ebenen des Ikosaeders, die zueinander nicht benachbart 
sind. Umgekehrt ist die Schnittlinie zweier Ebenen des Ikosaeders, 
die einen Eckpunkt, aber keine Kante gemein haben, die Kante eines 
einzigen umgeschriebenen Oktaeders.“ 
„Ebenso kann man aus den Seitenflächen eines regelmäßigen Iko- 
saeders auf zehn. verschiedene Weisen vier so auswählen, daß ihre Ebenen 
ein regelmäßiges Tetraeder bilden. Diese zehn Tetraeder lassen sich zu 
zwei Sternen von je fünf Tetraedern in der Weise vereinigen, daß bei 
jeder Bewegung, durch die das Ikosaeder in denselben Ort übergeführt 
wird, auch jeder Stern zur Deckung mit seiner eigenen Anfangslage 
gelangt.“ 
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