334 8 18. Die regelmäßigen Körper in ihrer Beziehung zueinander 
„Jedes umgeschriebene regelmäßige Tetraeder ist eine Hemiedrie 
eines umgeschriebenen regelmäßigen Oktaeders. Umgekehrt erhält man 
ein regelmäßiges Oktaeder, das dem Ikosaeder umgeschrieben ist, indem 
man zwei umgeschriebene regelmäßige Tetraeder, die durch den Mittel- 
punkt ineinander gespiegelt werden, miteinander vereinigt.‘ 
„Von den Eckpunkten der umgeschriebenen regelmäßigen Tetra- 
eder fallen je zwei zusammen. Daher haben die beiden Sterne dieselben 
zwanzig Eckpunkte. Diese sind zugleich die Eckpunkte eines regel- 
mäßigen Dodekaeders, dem die beiden Sterne eingeschrieben sind.“ 
„indem man jeder Fläche eines regelmäßigen Dodekaeders ihren 
Pol an einer Kugel zuordnet, die um den Mittelpunkt mit der halben 
Diagonale d als Radius beschrieben werden kann, erhält man ein regel- 
mäßiges Ikosaeder, das zu dem. Dodekaeder in der Beziehung steht, daß 
lie dem Dodekaeder eingeschriebenen regelmäßigen Tetraeder zugleich 
dem lkosaeder umgeschrieben sind.“ 
„Je zwei benachbarte Seitenflächen eines regelmäßigen Oktaeders, 
das einem regelmäßigen Ikosaeder umgeschrieben ist, haben mit dem 
[kosaeder einen Eckpunkt, aber keine Kante gemein. Wählen wir um- 
yekehrt aus den Seitenflächen eines regelmäßigen Ikosaeders acht so 
aus, daß sie keine Kante gemein haben, so schließen sie ein regelmäßiges 
Oktaeder ein. Von neun beliebigen Seitenflächen eines regelmäßigen 
[kosaeders stoßen mindestens zwei in einer Kante zusammen.“ 
Alle diese Sätze ergeben sich unmittelbar durch polare Zuordnung. 
Wollen wir sie aber in ähnlicher Weise direkt erhärten, wie wir vorhin 
die entsprechenden Sätze für das regelmäßige Dodekaeder bewiesen 
haben, so müssen wir die Schnittlinien nicht benachbarter Grenzflächen 
eines regelmäßigen Ikosaeders hinzunehmen. Das macht aber große 
Schwierigkeiten wegen des Mangels an‘ Anschaulichkeit. Um sich die 
Jperation zu erleichtern, kann man einen Satz benutzen, der dem Kanten- 
gesetze von Möbius (vgl. 186, 7 5.108) entspricht und folgendermaßen 
ausgesprochen werden kann: 
„In jedem Polyeder, das dem Kantengesetz von Möbius gehorcht, 
können die in ihm vereinigten Polygone «&, ß, y,...l, %,... MM, v in den 
ainzelnen Ecken zu Vielkanten so verbunden werden, daß jedesmal, wenn 
zwei benachbarte Polygone in dem einen sie enthaltenden Vielkant die 
Folge ı, x haben, sie in dem andern Vielkant, dem sie angehören, in der 
Folge x, ı auftreten.“ 
Diesen Satz wollen wir an den einfachsten Polyedern erläutern. 
Die vier Seitenflächen 1, 2, 3, 4 eines Tetraeders können zu den vier 
Dreikanten vereinigt werden: 2, 3, 4; 1, 4, 3; 1, 2, 4; 3, 2, 1. Hier ent- 
spricht für ı, x = 1, 2, 3, 4 jeder Folge ı, x eine Folge x, ı. Eine fünf- 
seitige Pyramide mit der Grundfläche 0 und den Seitenflächen 1, 2,3, 4,5 
läßt folgende Anordnung der Ecken zu: 0, 1, 2; 0, 2, 3; 0, 3, 4; 0, 4, 5;