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Ikosaeder und Oktaeder 335 
0, 5, 1; 5, 4, 3, 2, 1. Die sechs Flächen 1, 2, 3, 1', 2’, 3’ eines Parallel- 
Aachs, in dem die Flächen 1 und 1’, 2 und 2’, 3 und 3’ je einander 
parallel sind, können zu folgenden acht Dreikanten angeordnet werden: 
1, 2, 3; 2, 1, 3'; 3, 2, 1'5 1, 3, 2’; 1, 2’, 3'; 2, 3', 1'; 3, 1', 2'; 3', 2', 1'. 
Die zwanzig Seitenflächen eines regelmäßigen Ikosaeders sollen in 
folgender. Weise bezeichnet werden. In einem beliebigen Eckpunkte 
sollen die Flächen 1, 2, 3, 4, 5 zusammenstoßen. Die Kante 1, 2 soll 
der Fläche I, die Kante 2, 3 der Fläche II usw., die Kante 5, 1 der 
Fläche V angehören. Die Gegenflächen sollen jedesmal durch einen an- 
gehängten Strich bezeichnet werden. Dann bilden die zwanzig Flächen 
folgende zwölf Fünfkante: 
12345; 111V'I12; 21LV'H1I3; 3111’ IV 4; 
11VI'V5; 5VUI1; 5'4'8'2'1';3 2'1' IV 1'; 
3’ VI’: 4IV'II' 3': 5" V' IV 4': 1'1' V' 5 
Diese Anordnung entspricht dem aufgestellten Gesetze. 
Jetzt stellen wir mit 1 etwa die Ebene 3 zusammen und müssen, 
da 3 im ersten Fünfkant an zweiter Stelle auf 1 folgt, aus den Fünf- 
kanten 1 I IV'IL2 und 1 5 VII die Flächen IV' und V hinzunehmen. 
Wir betrachten jetzt die Fünfkante, in denen die Fläche 3 vorkommt, 
und setzen in ihnen unter Beibehaltung der Reihenfolge 3 an die erste 
Stelle. Das sind die Fünfkante 3 4512; 3 2 11V'IHI und 3 III 1'IV 4. 
Da im ersten 1 die vierte Stelle einnimmt, müssen wir V’' und IV hin- 
zunehmen. Indem wir in gleicher Weise mit IV’ noch 3’ und V', mit 5 
noch 1 und 3' usw. vereinigen, erhalten wir das abgeschlossene System 
der acht Flächen 1, 3, IV, V, 1', 3’, IV', V'. Es läßt sich leicht zeigen, 
daß die acht in dieser Weise ausgewählten Ebenen ein. regelmäßiges 
Iktaeder bilden. Da man aber aus dem Fünfkant 1 2 3 4 5 auf fünf ver- 
schiedene Weisen zwei nicht benachbarte Flächen auswählen kann und 
aus den Flächen, die in einem Eckpunkt zusammenstoßen, jedesmal 
zwei genommen werden müssen, sind dem Ikosaeder fünf regelmäßige 
IRtaeder umgeschrieben. 
Man kann aber auch umgekehrt vom regelmäßigen Oktaeder aus- 
gehen und mit seiner Hilfe ein regelmäßiges Ikosaeder konstruieren. 
An den Ecken des regelmäßigen Oktaeders, das die drei Punktpaare 
4 und A', Bund B', C und €” zu Paaren von Gegenpunkten hat, mögen 
kongruente regelmäßige Pyramiden abgeschnitten werden, deren Seiten- 
kanten kleiner sind als die Hälfte der Kanten des Oktaeders. Das ab- 
zestumpfte Oktaeder, das auf diese Weise entsteht, hat 24 Ecken, 
14 Flächen und 36 Kanten. Die Eckpunkte des neuen Polyeders sollen 
in folgender Weise bezeichnet werden. Auf der Kante AB liegen die 
beiden Punkte Az und Ba, wo Az näher an A, Bı näher an B liegt. 
Ebenso soll die Kante AB’ die Punkte Ag und Bh enthalten, und zwar 
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