7x 
iR 
Ar 
MM 
N 
8 
1 
"Wr 
MN 
{| 
N 
} 
d 
4 
(3 
Si 
or 
X 
;te 
sle 
xt 
7 
pr 
337 
aufgestellten Regel gefunden werden können, die Eckpunkte eines regel- 
mäßigen Ikosaeders. 
[{n einer bisher nicht veröffentlichten Arbeit hat sich stud. K, F, Hartung 
mit den regelmäßigen Körpern beschäftigt, die sich einem gegebenen regelmäßigen 
Körper einbeschreiben lassen. Von seinen Resultaten erwähnen wir folgende: 
„Dem Dodekaeder läßt sich nur ein einziges Ikosaeder einbeschreiben.‘“ 
„Dem Würfel können unendlich viele regelmäßige Oktaeder einbeschrieben 
werden; ihre Ecken beschreiben auf jeder Seitenfläche vier Hyperbeln, die sich 
im Mittelpunkte der Fläche schneiden. Speziell erhält man die Eckpunkte eines 
regelmäßigen Oktaeders, wenn man von zwei Gegeneckpunkten eines Würfels aus 
auf jeder Kante, die von einem unter ihnen ausgeht, drei Viertel der Kante 
abträgt.‘ 
S 19. Elemente der Kugelteilung, 
|. Zerlegung einer Kugel in regelmäßige sphärische Viel- 
ecke. Mit einem konvexen Polyeder stellen wir eine Kugel zusammen, 
lie um einen Innenpunkt des Polyeders beschrieben ist. Indem wir von 
Jliesem Punkte aus das Polyeder auf die Kugel projizieren, wird ihre Ober- 
fläche in lauter sphärische Polygone zerlegt, die in der Beziehung zu- 
einander stehen, daß jede Seite (Kante) eines Polygons noch Seite für ein 
zweites Polygon ist. Wenn wir speziell einen regelmäßigen Körper von 
seinem Mittelpunkte aus auf die Umkugel projizieren, so wird die Kugel- 
läche in fregelmäßige n-Ecke zerlegt, deren Winkel sämtlich iz betragen, 
wo f, m, n die früher angegebene Bedeutung haben. Eine derartige Zer- 
legung der Kugel in regelmäßige sphärische Polygone ist nicht nur an sich 
von Interesse, sondern bietet auch einen einfachen Zugang zu den regel- 
mäßigen Körpern. Wir wollen daher die ersten Sätze dieser Theorie kurz 
Jarlegen, indem wir für tiefergehende Studien auf das bekannte Werk 
von E. Heß über Kugelteilung verweisen. 
Wir nehmen an, die Kugel sei in f regelmäßige n-Ecke zerlegt, von 
lenen je m in einem Eckpunkte zusammenstoßen, Dann bilden je zwei 
jenachbarte Seiten den Winkel miteinander. Daher ist nach $ 11, 5 
‚S. 185) der sphärische Exzeß eines jeden Vielecks gleich ( —n+ 2) T. 
Damit die Kugel in f solche Vielecke zerlegt werden kann, muß sein: 
f. (5? —n+2)=4 
) der 
1) 
4m 
T = 4—(m—2)(n— 2) 
Diese Beziehung kann auch in der Form geschrieben werden: 
2 2 4 
m Ta HE f 
Cn 
CN 
ed 
aA 
7 
eo 
De Ay 
Yen 
AAN 
ES 
An 
ee 
Bw 
1 
Le 
Killing u. Hovestadt: mathem. Unterricht II 
A