Das rechtwinklige sphärische Dreieck 345 
Die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln dieses Dreikants leiten 
wir zunächst unter der Annahme her, daß die Katheten spitz, die Winkel 
BOC und COA kleiner als 90° sind. Von einem beliebigen Punkte V 
der Kante OB fällen wir die Senkrechte VW auf die Gerade 0C und 
von W die Senkrechte WU auf 04. Bei der gemachten Voraussetzung 
fallen die Fußpunkte der Senkrechten in die Kanten selbst hinein. Da 
die Ebenen 0CA und OCB aufeinander senkrecht stehen, so sind auch 
die Winkel V WU und 7 U0O Rechte. Demnach ist < YUW = «a; ferner 
X VOW = a, << WOU=b, X UOV =. 
Somit gelten die Beziehungen: 
__0W D= OU OU 
nam VW da UN sync UT 
3n dd =— Or? Sa => WW SINN CC = "OT? 
Kan IW ed UW, ec UT 
S5%0= GW 895 007 BC GT? 
ZW UW VW 
Up 8a= Gr Wa= GW 
Daraus gehen die Gleichungen hervor: 
6) cosc=cosa-cosb, sin«a = res COS & ==. ig EL 
In ähnlicher Weise leiten wir die Gleichungen her: 
v __ sind __ tga __ tgb 
7) sin ß ae? 008 Sr tg ße‘ 
Aus ihnen ergeben sich leicht die folgenden Beziehungen: 
8) cos c = cotg « -cotg ß, cos « = sin ß-cos a, cos ß = sin «cos b. 
Wir müssen nachweisen, daß diese Formeln allgemeine Gültigkeit 
besitzen. Wenn zunächst die beiden Katheten a und b größer sind als 
90°, so betrachten wir das dritte Nebendreieck, nämlich das Dreieck mit 
den Seiten 180° — a, 180° — b, c, und den Winkeln 180° — w«, 180° — ß, y. 
Für dies Dreieck gelten die Gleichungen (6), (7), (8), weil die Katheten 
kleiner sind als 90°. Daher ist: 
cos € = cos (180° — a) cos (180° — b) = cos a - cos b. 
sin (180° — w) = Sn 50 also sin «x = sin a 
SINC 81N € 
cos (180° — &) = % WM, also cos «= 189 
SC tr<c 
Va 
Ö 
6 
PA 
Ba 
A 
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Ca Ca 
in 
(gi 
A 
ef 
3. 
( 
Br 
Be 
% 
SW. 
Wenn aber etwa die Kathete a kleiner und die Kathete b größer als 90° 
ist, so stellen wir die Formeln (6), (7), (8) für das erste Nebendreieck, 
für das Dreieck mit den Seiten a, 180° — b, 180° — c und den Winkeln «, 
180°— ß auf. Dadurch finden wir die Formeln: