Umgekehrt kann man aber auch geometrisch zeigen, daß einem jeden 
rechtwinkligen sphärischen Dreiecke, dessen Katheten kleiner als 90° sind, 
vier andere rechtwinklige Dreiecke zugeordnet werden können, von denen 
jedes die im Zyklus (15) vereinigten Stücke in derselben Ordnung enthält. 
Es sei gestattet, für diese Behauptung den Beweis zu wiederholen, den 
Jacobsthal (a. a. 0.5. 403) im Anschluß an ältere Arbeiten hierfür ge- 
liefert hat. 
Um vom Dreieck 4, zum Dreieck 4A, überzugehen, verlängere man 
CA bis 4, und BA bis C, so, daß CA, = BC, = 90° wird, und bezeichne 
den Punkt 4 noch mit B,. Dann wird 4, 5,C, das Dreieck 4,. Zum 
Beweise wählt man in der Verlängerung von 4,C, den Punkt M so, daß 
auch 4, MX = 90° ist. Dann ist 4, der Pol von BC, B der Pol von A,(%. 
Demnach liegt auch M in der Verlängerung von BC. Zudem ist << 4, C, 5, 
= 90°, ferner 6, = 4,B,= 4,0 — Bil=24,C—- AC=90°—b, x = MC 
MB = 90°— a, 90° — = C, M= ß8, 90°— a = C, f=&. 
Indem man dieselbe Konstruktion für das Dreieck 4,5, C, ausführt, 
gelangt man zum Dreieck A, und von da in gleicher Weise zu A,, 4; 
und zu 4, zurück. Der Zusammenhang, der nach der Neperschen Regel 
zwischen den zehn Formeln (14) besteht, ist somit keineswegs etwas rein 
Äußerliches, sondern beruht auf einer interessanten geometrischen Ver- 
bindung, die zwischen fünf verschiedenen Dreiecken besteht. 
Wir haben bisher angenommen, daß die Katheten des gegebenen 
Dreiecks kleiner sind als 90°. Trifft diese Voraussetzung nicht zu, so 
muß man den Sinn der einzelnen Größen in Betracht ziehen. Indem man 
das tut, kann man die Konstruktion für jedes rechtwinklige sphärische 
Dreieck ausführen. 
Zuweilen wird die Nepersche Regel nicht in der Form ausgesprochen, die 
wir ihr oben gegeben haben. Namentlich in älteren Werken setzt man die Katheten 
selbst in den Zyklus und verlangt, daß nachträglich jede Funktion einer Kathete 
durch ihre Kofunktion ersetzt werde. Diese Vorschrift steht aber schon an prak- 
tischer Brauchbarkeit weit hinter der gegebenen Form zurück. Wer die Katheten 
zunächst den übrigen Umfangsstücken koordiniert und erst nachträglich eine 
Funktion durch ihre Kofunktion ersetzt, muß die Aufmerksamkeit stärker an- 
spannen, als wenn er von vornherein die Komplemente in den Zyklus einsetzt. 
Zudem zeigt die Beziehung, in der die fünf Dreiecke zueinander stehen, daß es 
weniger auf die Katheten selbst, als auf ihre Komplemente ankommt. 
Hammer meint in seiner Trigonometrie, die Bedeutung der Neperschen 
Regel werde vielfach überschätzt. Wir möchten ihm hierin nicht unbedingt wider- 
sprechen. Er geht aber offenbar zu weit, wenn er der Regel jede Bedeutung abspricht. 
Zwar lassen sich die Formeln (6), (7), (8) zum Teil leicht behalten; bei einigen von 
ihnen wird aber der Schüler eine Stütze für sein Gedächtnis nicht verschmähen und 
sich freuen, ein Mittel zu haben, das ihm schnell volle Sicherheit verschafft. Zu- 
dem hat die Regel, wie wir gesehen haben, auch einen rein geometrischen Inhalt, 
10. Vergleich der verschiedenen Methoden. Die Methode von Möbius 
stützt sich auf den Satz, daß die Projektion einer Strecke auf eine Gerade außer 
von der Länge der Strecke nur von dem Winkel abhängt, den die Gerade und