356 $ 20. Grundformeln der sphärischen Trigonometrie 
dreiecks den zweiten Kosinussatz hergeleitet hat, sind die Schüler im Besitze aller 
notwendigen Formeln, indem sich auch die Formeln für das rechtwinklige Dreieck 
unmittelbar ergeben. Diese Methode empfiehlt sich namentlich dann, wenn man 
sich bei der Kürze der zur Verfügung stehenden Zeit darauf beschränken muß, 
den Schülern nur einen kleinen Einblick in die sphärische Trigonometrie zu er- 
möglichen. 
Hammer legt dem Sinus - Kosinussatz eine große Bedeutung bei. Wir möchten 
lemgegenüber hervorheben, daß er in den Anwendungen gegen die übrigen Formeln 
sehr zurücktritt und beim Unterricht entbehrt werden kann. 
Die Grundformeln der sphärischen Trigonometrie sind noch auf manchem 
anderen Wege hergeleitet worden. Zu den. älteren; schon recht verschiedenen Be- 
weisen sind in der letzten Zeit noch viele neue Herleitungen hinzugetreten. Wir 
haben geglaubt, uns auf die fünf mitgeteilten Methoden, beschränken zu sollen, 
Am ehesten konnten wir daran denken, den Beweis aufzunehmen, den Serret 
in seinem „Traite de Trigonometrie‘ gibt. Da er aber die stereographische Ab- 
oildung der Kugel auf die Ebene benutzt, müssen wir ihm eine gewisse Künst- 
lichkeit zuschreiben. Aus diesem Grunde haben wir von seiner Aufnahme abgesehen, 
In Nr. 8 haben wir gesehen, daß aus den Formeln der sphärischen Trigono- 
metrie die Sätze über das Dreikant mit großer Leichtigkeit hervorgehen. Auch 
der folgende Paragraph wird es uns gestatten, aus den Formeln Eigenschaften 
des Dreikants direkt abzulesen. Dementsprechend wird man geneigt sein, die 
geometrischen Untersuchungen üher das Dreikant auf ihr geringstes Maß ein- 
zuschränken und die gewonnene Zeit für die sphärische Trigonometrie zu ver- 
wenden. 
S 21. Berechnung der sphärischen Dreiecke. 
il. Der Halbwinkelsatz und die Radien der Berührungs- 
kreise. Der ersten Formel (11) 8 20, 7 (S. 349), nämlich der Gleichung: 
cos a — cos b cos c = sin b sin c cos &« 
yeben wir die Gestalt: 
‘cos a — cos b cos €) (cos? 5 + sin? £) = sin b sin c (cos? z — sin? 5) 
oder: 
sin? > (cos a — cos (b — c)) = cos? S (cos (b + c) — cos a). 
In dieser Gleichung wandeln wir die Differenzen der Kosinus in 
Produkte um und führen die Abkürzungen ein: 
‚ a+d+e —a+b+ce 
1) =, == An te, 
a—b+e a+d—c 5 
S5=S-b= Sy == 
Dadurch erhalten wir die Formeln: 
A &% _]/sins, sin s, ß Ve 5; Sin S, 7 VS 8, Sin 8 
(2) tg 2 VS 5, sin 8, 5 = sin 8, sin s, tg 2 V sins, sin & 
Diese Formeln können auch aus der Figur hergeleitet werden. Wie 
wir in 8 10, 6 (S. 181) gesehen haben, gehen die drei sphärischen Halb-