358 8 21. Berechnung der sphärischen Dreiecke 
können wir auch mit dem zweiten Kosinussatze vornehmen. Wir schreiben 
demnach die erste Gleichung (13) 8 20, 8 (S. 350) in der Form: 
cos « + cos ß cos y) (cos? 5 + sin? $) = 8inß-siny (cos? — sin? 3) 
der: 
cos? 5 (cos u + cos (ß + 7)) =-— sin? % (cos (ß — 7) + cos «) 
Indem wir die Bezeichnungen einführen: 
(5) 269= a +ß + 7, 20,=-—-4+ß +7, 26,=0—ß +7, 26,= a +B— 7, 
erhalten wir die Gleichungen: 
j 9/08 6, COS 6, b_9/ cos 6; cos 6, 
(6) cotg 2 -V“ cCO864-CO86, ” cotg 2 a ©? 
C COS 6, - COS 6, 
cotg zz =) A ———. 
2 —C08S 64: C08S 6, 
Um diese Formeln aus der Figur herzuleiten, beachten wir den 
Umkreis des gegebenen Dreiecks und seiner Nebendreiecke. 
Die Mittelsenkrechten der drei Seiten eines sphärischen Dreiecks ABC 
zehen durch zwei Punkte KX und K', die Gegenpunkte voneinander sind 
and von denen jeder gleiche Entfernung von den Eckpunkten des Dreiecks 
hat. Wenn der Punkt X und der Mittelpunkt der Kugel auf verschiedenen 
Seiten der Ebene ABC liegen, so sind die Strecken KA, KB, KC kleiner 
als 90°; sie stellen den Radius 7 des Umkreises von ABC dar. Kbenso 
sollen mit K,, K,, K;, die Mittelpunkte, mit r7,, 7%, "3 die Radien der 
Kreise bezeichnet werden, die sich um die Nebendreiecke beschreiben 
lassen (vgl. $ 10, 7, S. 180). 
Offenbar sind die Winkel gleich, die eine Seite des Dreiecks mit 
len beiden Umkreisradien bilden, die nach ihren Endpunkten gezogen 
werden können. Wir dürfen also setzen: 
XCOBK=KCB=21, XACK=KAC=u <BAK=KBA=v. 
Nach der Figur ist der Winkel BAC gleich der Summe oder der 
Differenz der Winkel KAC und BAK, je nachdem der Punkt X im 
Winkelfeld BAC liegt oder nicht. Um für die Winkel 42, u, v allgemein 
gültige Formeln zu erhalten, beachten wir ihren Sinn und geben ihnen 
das positive oder das negative Vorzeichen, je nachdem ihr Sinn mit dem 
les Dreiecks ABC übereinstimmt oder nicht. Wir können auch sagen, 
ler Winkel 2 solle positiv oder negativ sein, je nachdem die Punkte 4 
und K auf derselben oder auf verschiedenen Seiten des Hauptkreises BC 
liegen. Bei dieser Festsetzung stellt sich jeder Dreieckswinkel als die 
algebraische Summe aus zwei Winkeln 2, uw, v dar. Es ist nämlich: 
u+tvy= a, v+21=ß, 1+U= 7, also 1=06,, U= 0%) DV = 6.