362 $ 21. Berechnung der sphärischen Dreiecke 
Aus den Gleichungen (16) gehen durch Division die folgenden 
nervor: 
cos 4—B an“ 
to Atb _ 2 ta ty 4—b 2 to 
5 LBS Ta 7 7 > 
S ws 5 1P 2 ° sin.“ LP 2 
2 2 
a—b . a—b 
COS —— > 810 —— 
u+B _ 2 y u—p 2 Yy 
tg 9 > — 75 Og 5 a > —— ab 008 5 
COS — — Sin —z— 
17) 
Diese Formeln waren schon vor den Gaußschen Formeln bekannt 
and wurden früher direkt aus den Grundformeln hergeleitet. Da sie 
zuerst von Neper aufgestellt sind, werden sie als NeperscheAnalogien, 
d.h. Nepersche Proportionen bezeichnet. Die zuweilen geäußerte Meinung, 
der Name sei deshalb gewählt, weil sie den Tangenssatz der ebenen 
Trigonometrie auf die Kugel übertragen und deshalb zu ihm in Analogie 
stehen, entspricht der geschichtlichen Tatsache nicht. 
Aus den Neperschen Analogien erhält man durch Division den 
Tangenssatz: 
ww 4+b to 4 +B 
52 _ © 2 
joA7b 44 ß 
3 °o Z) 
“18) 
5. Gauß’ Beweis der nach ihm benannten Formeln. An 
dem Beweise, den Gauß für die Formeln (16) geliefert hat, bringen wir 
3ine kleine Anderung an, die uns auf die oben gewählte Form führt. 
Aus den Gleichungen (12) $ 20, 7 (S. 349) leiten wir durch Addition 
and Subtraktion die Beziehungen her: 
sin(a—b) _ cosf-—cos« sin (a-+b) _ cosß-+cos« 
sine 1+cosy sine = 1—cospy ; 
Hieraus gehen mit Hilfe des Polardreiecks die Gleichungen hervor: 
cosb—cosa sin (x — f) cosb--cosa sin (&« + ß) 
1—cose siny 1}cose  siny 
Endlich liefert der Sinussatz die Formeln: 
äina- sind  sin«+sinß sina—sinb _ sine — sin ß 
3in c a siny sin € 2 siny 
In diesen sechs Gleichungen führen wir überall die halben Argumente 
ain und erhalten: . 
. a—b a—b ‚ U«—ß . ux«+ß 
a OT a Ann 
sin = cos 5 cos £ cos zz