Weitere Beweise für die Gaußschen Formeln 365 
und daraus: 
os “xf co8 ab 
Be} 
..Y . 
sin cos = 
EA 
Br 
Damit sind die Formeln (16) bewiesen: 
Dieselben Umformungen kann man mit dem zweiten Kosinussatze vornehmen 
ınd wird dadurch ebenfalls auf die Gaußschen Formeln geführt. 
7. Einige geometrische Beweise der Gaußschen Formeln, Wir weisen auf 
einige Herleitungen der Formeln (16) hin, bei denen von der Figur Gebrauch ge- 
macht wird. 
Man nimmt den Inkreis (O)o des Dreiecks ABC hinzu und wendet auf das 
Dreieck AO0B die Formel an: 
sin « - sin h, = sin a - sin ß - sin y, 
die leicht aus dem Sinussatz hergeleitet werden kann. Dadurch findet man die 
Beziehung: 
sin op: sin A0B = sin c- sin £ sin £.. 
'ndem man den Berührungspunkt der Seite BC mit D bezeichnet, folgt: 
sin 40B = sin DOC cos o- sin DOC = cos £. 
Jemnach ist: 
sin £ sin “sine 
2 2 ; ; 
tg o0=-— 
wa 
cos 3 
war 
A 
a 
7 
CE} 
Indem man noch tg o durch tg5- ‚sins, oder durch tg 5 ‚eins, ersetzt, er- 
aält man die Gleichungen (ec), durch deren Addition und Subtraktion man auf zwei 
Gleichungen (16) geführt wird. 
{n ähnlicher Weise kann man den Radius des Umkreises benutzen. 
Will man direkt zu den Gleichungen (16) gelangen, so nimmt man ein Drei- 
eck hinzu, das mit dem gegebenen Dreieck zwei Umfangsstücke gemein hat und 
außerdem eine der Größen a + b, a — b, « + ß, « — ß enthält. So kann man AC um 
CD=CB verlängern und den Kreis (X) um das Dreieck ABD beschreiben. Der 
Beweis beschränkt sich auf den Fall, daß K im Innern des Dreiecks ABD liegt. 
Nennt man jetzt L, M, N die Mitten der Seiten AB, BD, D A, so darf man setzen: 
xAKL=LKB=21, <BKM=MKD=41u, <DKN=NKA=v. Alsdann ist 
AL=LB=2, AN=", 0N=", 4 BAK="T, z0AK="7P. Da 
aber der Winkel 2 auch gleich < CKN ist, erhalten wir für sin 4 und cos 2 je zwei 
Werte. Indem wir diese jedesmal einander gleichsetzen, werden wir auf zwei Formeln 
'16) geführt. Die beiden anderen gewinnt man hieraus durch Benutzung eines 
Nebendreiecks. 
In ähnlicher Weise kann man ein Dreieck ABE zugrunde legen, in dem die 
Seiten AB=c und BE= a —b den Winkel ß miteinander bilden. Auch hier führt 
lie Benutzung des Umkreises auf zwei Formeln (16). Man kann aber auch mit dem 
Dreieck ABC das Dreieck ACN verbinden, dessen dritter Eckpunkt N in BC 80 
yewählt ist, daß <NAC=«-—ß ist, und den Inkreis von A4ACN hinzunehmen, 
Ondlich kann man den Winkel « + ß in geeigneter Weise konstruieren.