366 8 21. Berechnung der sphärischen Dreiecke 
8. Ein neuer Beweis für die Gaußschen Formeln und die 
Neperschen Analogien. In 82, 7 (S. 27) haben wir die Mollweide- 
schen Formeln und den Tangenssatz der ebenen Trigonometrie an einer 
einzigen Figur zur Anschauung gebracht. Indem wir diese Figur auf 
die Kugel übertragen, erhalten wir einen neuen Beweis für die Gauß- 
schen Formeln und die Neperschen Analogien, Dabei beachten wir, daß die 
Gleichungen (16) und (17) für a =b auf bekannte Formeln für das recht- 
winklige Dreieck hinauskommen. Wir dürfen daher annehmen, daß im 
Dreieck ABC die Seite BC größer als AC ist. Unter dieser Voraus- 
setzung ist die Halbierungslinie des Winkels ACB von der Mittelsenk- 
‚echten der Seite AB verschieden. Diese beiden Hauptkreise schneiden 
ainander somit in zwei Punkten, von denen der eine, den wir mit D 
bezeichnen wollen, dem halbierenden Halbstrahl angehört, also entweder 
.m Innern von ABC oder im Innern des Nebendreiecks ABC’ oder auf 
der Seite 4 5 liegt. Wir lassen D zunächst im Innern von ABC’ liegen. 
Auf CB tragen wir die Strecke CE = CA ab und bezeichnen mit 
M die Mitte von AB und mit /F die Mitte von EB. Hiernach ist 
AD=DE= DB, DM die Mittelsenkrechte von AB, DF die Mittel- 
senkrechte von KB. Ferner ist BF= EF= A CÜF= sr Da 
aber <XCAD+CBD=CED+MDHEB = 180° ist, so folgt: < 4BD 
= 90° — “TE, x FBD=90°—“ 7°. Endlich ist & FDC = FDE 
+ EDO = >(BDE+EDA)=+BDA oder & FDC= BDM. Da 
wir von der Gleichheit dieser Winkel mehrfach Gebrauch machen werden, 
wollen wir ihre gemeinsame Maßzahl mit 4 bezeichnen. 
a) Es ist: 
cos 4 = cos FDC = cos CF-sin DCF = cos 4° sin > 
cos 4 = cos BDM = cos BM- sin MBD = cos S cos ET, 
als0o?! 
a+d C + 
COS a .Ssın S == COS = cos rB 
b) Ferner ist: 
208 a - COS Z = cos BF-cos DÜB= cos BF-.cos DF-sin FDC 
= cos BD-sin 2 
ınd: 
cos $ sin “T* — cos BM-cos MBD = cos BM-cos DM- sin BDN 
= cos BD - sin 2, 
also: 
a-—b C . & 
COS 5 cos / = cos £ sin “+: