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24 $ 2. Der erste Unterricht in der ebenen Trigonometrie 
BDC=v an, so ist AC=2r sin (u + 7), AB=2rsin u, BC=2rsinv, 
AD =2rcos u, CD =2r cos v. Jetzt liefert der ptolemäische Lehr- 
satz die Formel für sin (uw + v). Um die Formel für sin (u — v) zu er- 
halten, wählt man AB zum Durchmesser des Kreises und legt für u > v 
an AB nach derselben Seite die Winkel BA4D=u und BAC=w an. Die 
Formel für cos (w + v) beweist man zunächst nur unter der Annahme: 
u + v<90°; man wählt wieder AB zum Durchmesser, nimmt einen 
Halbstrahl 47 hinzu, der in 4 den Kreis berührt und wählt auf der- 
selben Seite von AB, auf der der Punkt 7 liegt, die Punkte C und D 
30, daß & BAC = u, X TAD = v ist. Zu der Formel für cos (u — v) 
gelangt man dadurch, daß man von einem Durchmesser AC ausgeht, 
den in 4 berührenden Halbstrahl AT hinzunimmt, dann den Punkt 5 
auf dem von AT berührten Halbkreise und D auf dem anderen Halb- 
kreise so wählt, daß < TAB = u, X CAD = v wird. ; 
Bei einer vierten Herleitung der Formel (10) legt man zwei Winkel, 
deren Summe kleiner ist als 90°, aneinander. Man macht < XO0OY=«, 
X YOZ=ßB, X X0Z=«+ß. Von einem beliebigen Punkte 4 des 
Halbstrahls 0Z fällt man auf OX die Senkrechte AB und auf OY die 
Senkrechte AC; von € fällt man noch die Senkrechte (D auf 0X und 
CE auf AB. Dann ist: 4 x 
x BA CD 
sin (a +8) = 54 = 04 * 02 
In jedem dieser beiden Brüche fügt man im Zähler und im Nenner 
eine Strecke hinzu, die jedesmal mit beiden in einem rechtwinkligen 
Dreieck liegt. Daraus geht hervor: 
sin (« + ß) aD 01T 0007 
Die trigonometrische Deutung der vier Brüche führt auf die 
Formel (10). In ähnlicher Weise können die Formeln für sin (x — ß), 
2os (« + ß) und cos (« — ß) hergeleitet werden. 
Die letzte Art der Herleitung scheint deshalb beliebt zu sein, weil 
sie es gestattet, zuerst die sogenannte Goniometrie zum Abschluß zu 
bringen und darauf die Dreiecksberechnung folgen zu lassen. Das ist 
aber keineswegs ein Vorteil; vielmehr ist es umgekehrt ganz wünschens- 
wert, möglichst bald Anwendungen von den Funktionen machen zu 
können. | 
Unseres Erachtens sind die beiden an erster Stelle angegebenen 
Beweise am einfachsten; wir möchten die Anwendung der Projektions- 
sätze auch noch dem Cauchyschen Beweise vorziehen, da sie sich am 
angsten an den vorgezeichneten Lehrgang anschließt. 
Die Formeln, die aus den angegebenen hervorgehen, brauchen wir 
nicht zu besprechen. Wir möchten nur darauf hinweisen, daß es sich 
nicht empfiehlt, das Gedächtnis der Schüler übermäßig zu belasten, 
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