28 & 2, Der erste Unterricht in der ebenen Trigonometrie 
nach dem Tangenssatz und die dritte Seite durch eine Mollweidesche 
Formel. Diese Art der Berechnung ist um so bequemer, da mit tg 
sofort sin Sf oder cos uf gefunden wird. Es ist daher verwerflich, 
Jie Seite c, wie leider noch immer in manchen Lehrbüchern empfohlen 
wird, nach dem Sinussatze zu ermitteln. Unser Weg empfiehlt sich 
auch in dem Falle, daß nur die Seite c ohne die Winkel gefunden werden 
soll. Andere Methoden, die Winkel oder die dritte Seite zu berechnen, 
eignen sich für die praktische Ausführung nicht (vergl. Nr. 13.) 
Die Gleichung (12) können wir auch in der Form schreiben: 
yY u—ßB  a—b6 , 
ig 5 18 5 a7 
Demnach können unter Festhaltung der Seiten a und b (für a > b) die Winkel 
y und x -— ß miteinander vertauscht werden. Wenn es daher ein Dreieck mit den 
Seiten a, b und den Winkeln «, ß, 7 gibt, so existiert ein zweites Dreieck mit den- 
selben beiden Seiten und den Winkeln «', ß', y', wo y=«a-—ß, «'—ß'=7, ‘also 
x =180%— &«, B’ = ßist. Die Dreiecke stimmen somit in zwei Seiten und dem Gegen- 
winkel der kleineren überein, während sich die Gegenwinkel der größeren Seite zu 
zwei Rechten ergänzen. Dieselbe Folgerung, die wir vorhin aus dem Sinussatz ge- 
zogen haben, geht somit auch aus dem Tangenssatze hervor. 
8. Berechnung der Winkel eines Dreiecks aus seinen 
Seiten. Um die Winkel eines Dreiecks zu berechnen, dessen Seiten 
bekannt sind, geht man vielfach vom Kosinussatze aus, leitet daraus 
mit Hilfe der Formeln für 1 + cosa« und 1 — cos « die Werte von cos 5 
und sin = her und findet durch Division einen einfachen Ausdruck für 
bg Die letzte Formel ist für die Berechnung am geeignetsten. Es 
empfiehlt sich daher, mit Heilermann in seinem „Lehrbuch der Trigono- 
metrie und Stereometrie“ die Formel für tg 5 direkt herzuleiten. Zudem 
Zwecke schreibt man den Kosinussatz in der Form: 
Le = 2b: c08M, 
m 
WE Rn 
multipliziert die linke Seite mit cos? = + sin? 5 und ersetzt cos « durch 
cos? = — sin? ©. Daraus geht der gesuchte Ausdruck hervor. 
Auch diese Formel läßt sich der Anschauung näherbringen. Durch 
die Berührungspunkte des Inkreises (0) 9 und des im Winkelfelde BAC 
gelegenen Ankreises (0,) 0, erhalten die Strecken S, S,, 52, Ss (vgl. 81, 1) 
eine anschauliche Bedeutung. Zudem ersieht man an der Figur, daß ist: 
% But 
Wa SG Se 
Daraus folgt: 
8, 
se 00, = 8