132 8 23. Der Sinus und der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks 
„Sobald eine Seite eines sphärischen Dreiecks zu der Verbindungs- 
strecke der Mitten der anderen Seiten senkrecht geneigt ist, bildet jede 
Seite mit dem durch die Mitten der beiden anderen Seiten gelegten Haupt- 
kreise einen rechten Winkel.“ 
Wir erwähnen noch einige Beziehungen, die zwischen den Seiten 
und den Winkeln eines solchen Dreiecks bestehen. Für &= 180° ist 
nach (17): 
1+ cos a + cos b + cos c= 0 
„der: 
26 _ _ og Atbd ab 
cos a cos > cos 5 
Ferner ist: 
— — vor eoty £ 
COS & — — COS 5 COLS 5 USW. 
9. Sphärische Dreiecke, in denen ein Winkel gleich der 
Summe der beiden anderen ist. Auch für die Nebendreiecke zu 
einem Dreiecke der soeben betrachteten Art gelten einige bemerkens- 
werte Sätze. Wir wollen daher jetzt solche sphärische Dreiecke be- 
irachten, in denen ein Winkel gleich der Summe aus den beiden anderen 
ist, und speziell annehmen, es sei y = «+ ß. 
Von den Nebendreiecken eines solchen Dreiecks haben zwei wieder 
lie Eigenschaft, daß ein Winkel gleich der Summe der beiden anderen 
ist, während im dritten Nebendreieck die Winkelsumme vier Rechte be- 
trägt. 
in Nr. 6 haben wir bereits bemerkt, daß jedes Dreieck, in dem 
Yy=«-+Bß ist, den größten Inhalt unter allen Dreiecken besitzt, die aus 
den Seiten a, b konstruiert werden können. Dies Maximum ist der 
kleinste positive Wert s, der der Gleichung genügt: 
‚8 a b 
sin = tg 5 
Aus den Formeln (13) 821,2 S. 359 geht hervor, daß in unserem 
Falle ist: 
C b a 
=) rn = 90° — zı n=90°— 5 
Demnach hat dies Dreieck mit dem rechtwinkligen ebenen Dreieck 
folgende Eigenschaften gemein: 
a) Ein Winkel ist gleich der Summe der beiden anderen; 
b) das Dreieck hat den größten Inhalt unter allen Dreiecken, die 
mit ihm in den beiden kleineren Seiten übereinstimmen; 
c) die größte Seite ist ein Durchmesser des Umkreises. 
Auch in den Formeln tritt manche Übereinstimmung hervor. Wir 
erwähnen die folgenden: