Fünf Beziehungen zwischen den acht Radien 435 
Daraus folgt: 
(7) XqRı Ft Xa%z = Asin sin a 
Indem wir hierin die Marken zyklisch vertauschen, finden wir durch 
Multiplikation mit Rücksicht auf die Gleichung (3) 8 23, 2 (S. 419): 
in? in? in? ne 
8) (XoXı X2Xs) (%9%, + X3 X) (29% +X,%)= AS ==> De 
Die Multiplikation der Gleichungen (6) führt unter Anwendung 
der Beziehung (3) $ 23, 2 auf die Gleichung: 
(9) X X1 X Vo Se 
Hiernach ist aber auch: 
4 
(10) YoYıYaYs = De 
Aus den Gleichungen (8), (9), (10) geht die Gleichung hervor: 
(11) (W9%, + X%g) (Wo% + X5X,) (Xo%s + X, Ka) = 4X, DL YoYı YıYs- 
Indem man diese Gleichung mit den Gleichungen (5) verbindet, wird 
5s möglich, die ersten acht Größen (4) durch drei von ihnen darzustellen. 
? 
a 
E 
2. Beziehung zwischen den Radien der vier Kreise, die 
einem Dreiecke und seinen Nebendreiecken umbeschrieben 
werden können. Indem wir in die Gleichung (11) für Yo, Yı, Yo, Y3 
lie Werte einsetzen, die aus den Gleichungen (5) hervorgehen, erhalten 
wir zwischen den Größen X), X,, %, X% die Beziehung: 
(Bo, + WaRg) (W,Xg + 3X) (Ko%z + X, X) 
= And Bi (X—z) (X — a) (X — wi) (X — wg). 
Wir denken uns etwa die Größen x,,%,, x, gegeben und betrachten 
die Größe x, als unbekannt. Hiernach wird x) Wurzel einer Gleichung 
:ünften Grades, der wir die Form geben können: 
(12) 29% %%g (09 — X — X — Kg) (A — X, + X + X) (89 + X — X + X) 
(BF X1 + I2— Wa) 4 (98, + og) (Wo X%o +3 R,) (Xo%s + X X) = 0. 
a) Wir wollen zuerst nachweisen, daß diese Gleichung im allgemeinen 
irreduzibel ist, daß also ihre linke Seite nicht als Produkt von rationalen 
Funktionen niederen Grades dargestellt werden kann. Dabei wollen wir 
die linke Seite von (12) kurz mit ® und einen darin etwa enthaltenen 
Faktor mit © bezeichnen. Wie die Algebra lehrt, dürfen wir jeden 
rationalen Faktor ©, von ® als ganze rationale Funktion der Größen 
Xo> Xı> X, %z voraussetzen. Da aber © in den Größen %), Xi, Xa, Xs 
3ymmetrisch ist, so ist auch jeder Ausdruck, in den @, durch Vertauschung 
von irgend zwei Größen %o, X,, X, X; übergeht, ebenfalls ein Faktor 
von ©, Wenn jetzt w, nicht symmetrisch in den Größen Kor Lız Xay X 
DR