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Irreduzibilität der Gleichung (12) 437 
Dieser Beweis ist sehr einfach und natürlich. Da er aber Betrachtungen be- 
autzt, die vielleicht nicht jedem Leser geläufig sind, mag es angebracht sein, 
ainen zweiten Beweis mitzuteilen, der sich nur auf elementare Sätze stützt. Hier- 
bei verfahren wir in folgender Weise. Wir legen den Größen x,, %, x, bestimmte 
rationale Werte bei und setzen sie in die Gleichung (12) ein. Wenn alsdann die linke 
Seite dieser Gleichung nicht in rationale Faktoren zerlegt werden kann, so ist auch 
lie Gleichung (12) im allgemeinen irreduzibel. 
Für z, =1, %, = 2, % = 83 nimmt die Gleichung (12) die Gestalt an: 
3x°— 72x? — 46x? +168x + 72 = 0. 
Diese Gleichung hat fünf reelle Wurzeln, von denen zwei positiv und drei 
negativ sind. Von den positiven Wurzeln liegt die eine zwischen 4 und 5, die 
andere zwischen 1 und 2. Von den negativen Wurzeln liegt eine zwischen 0 und 
—1, die zweite zwischen — 2 und — 3, die dritte zwischen — 4 und — 5. 
Wenn die Gleichung (a) reduzibel ist, so ist der niedrigste rationale Faktor, 
den ihre linke Seite hat, entweder vom ersten oder vom zweiten Grade. Um zu 
untersuchen, ob einer dieser beiden Fälle möglich ist, setzen wir y= 3x. Dadurch 
zeht die Gleichung (a) übersin: 
y°— 216y—414y?+168.27.y +72-81=0, 
Jedem rationalen Faktor der Gleichung (a) entspricht ein rationaler Faktor 
desselben Grades von (b). Ein rationaler Faktor ersten Grades kann nur vorkommen, 
wenn die Gleichung eine rationale Wurzel hat. Jede rationale Wurzel von (b) ist 
aber ganzzahlig (I. 8 17, 4 S. 293). Eine ganze Zahl, die der Gleichung (&) genügt, 
muß aber durch 3 teilbar sein. Somit ist auch jede rationale Wurzel von (a) ganz- 
zahlig. Da aber alle Glieder auf der linken Seite von (a) mit Ausnahme des ersten 
Jurch 2 und alle bis auf das dritte durch 3 teilbar sind, so hat jede ganzzahlige 
Wurzel von (a) den Faktor 6. Setzen wir aber x= 62, so. muß z eine ganzzahlige 
Wurzel der Gleichung sein': 
32425 — 21623 — 282? + 142 + 1'= 0. 
Da in dieser Gleichung das absolute Glied gleich eins ist, kann ein ganz- 
zahliger Wert von z nur gleich + 1 sein. Das ist aber schon aus dem Grunde un- 
möglich, weil der erste Koeffizient größer ist als die Summe aller anderen. 
Daß die Gleichung (a) durch keine ganze Zahl befriedigt wird, geht auch aus 
den Grenzen hervor, die wir für ihre Wurzeln angegeben haben. 
Wenn die linke Seite von (b) in zwei rationale Faktoren zerfällt, so darf man 
oeidemal den Koeffizienten der höchsten Potenz gleich eins und alle anderen als 
yanzzahlig voraussetzen (vgl.Weber-Wellstein, Elementar-Mathematik Bd.T, S. 195). 
Wir nehmen daher an, die linke Seite von (d) sei gleich: 
(y?+ay-+b) (y°— ay* + cy+d), 
wo a, b, c, d ganze Zahlen sein sollen. Alsdann bestehen die Gleichungen: 
bd= 72.81, 
ad+be=168-27 
d+ac-—-ab=-—414 
d—a?=-—216. 
Wenn hier b einen der Faktoren 2 und 3 nicht enthält, so geht dieser auch 
nicht in a, wohl aber in d und infolgedessen auch in b-c und b— c auf. Da hierin 
ein Widerspruch liegt, dürfen wir voraussetzen, daß b durch 6 teilbar ist, Dann 
ist 6 auch ein Faktor von a@ und von d. Zugleich muß aber db durch 36 teilbar sein. 
Wir dürfen daher setzen: 
b= 36. a=6d, d=6d',