440 824. Die Radien der In- und der Umkreise eines sphärischen Dreiecks usw. 
einziges Dreieck zugeordnet werden kann. Mit anderen Worten: Wenn 
die Gleichung (12) durch die positiven Größen %,, Xi, %,, X befriedigt 
wird und man die sphärischen Strecken 7, 7,, 72, 7, durch die Gleichungen 
bestimmt: 
tar = Zn, ion = Zi, ig ro = X, ig X = Ds, 
30 gibt es jedesmal ein Dreieck, das die Strecke r zum Radius des Um- 
kreises hat, während r,, 72, 73 die Radien der Kreise sind, die um die 
Nebendreiecke beschrieben werden können. 
Um diesen Nachweis zu führen, ermitteln wir zuerst vier Größen 
Yor Yır Yar Ya, die mit den Größen %,, X,, %, X durch die Gleichungen 
(5) verbunden sind, und bestimmen dann nach den Gleichungen (13) 
and (14) sechs positive Größen a, b, c, «, ß, y, die sämtlich kleiner als 
180° sein sollen. Alsdann haben wir zu zeigen, daß diese sechs Größen 
die Seiten und die Winkel eines sphärischen Dreiecks sind und daß in 
dem so gefundenen Dreieck die Größen x), X1, %, X die vorgeschriebene 
Bedeutung haben. 
Weil zwischen den Größen %, %,, X%, X und Yo, Yı, Yo, Ya die 
dleichungen (5) bestehen, sind die Gleichungen (11) und (12) mitein- 
ander identisch. Von den Größen 
— Bot Ky + X Kg, Ko MX +, Kat CD + Ray Kot 1 + Do — Dog 
and daher auch von den Größen %, Yı, Ya, Ys kann höchstens eine 
einzige negativ sein. Da aber das Produkt y,y,y,yz nach (11) einen 
positiven Wert hat, sind auch die vier Größen yo, Yı, Ya, Y3 POSItiv. 
Ferner geht aus den Gleichungen (5) für jede Permutation x, 2, u, v 
ler Marken 0, 1, 2, 3 die Beziehung hervor: 
X, X2 + Xu X an YıYı + YuYıo 
Die Gleichungen (15) und (16) ergeben sich aus den Gleichungen 
13) und (14) durch eine bloße Rechnung, und zwar erhalten die sämt- 
lichen Wurzeln ein positives Vorzeichen, weil die Größen a, b, c, «, ß, v 
kleiner als 180° sein sollen. Aus diesen Gleichungen folgt aber mit Rück- 
sicht auf (@), daß zwischen den sechs Größen der Sinussatz der sphä- 
rischen Trigonometrie besteht. 
Die Formeln (8) und (9) liefern uns sehr einfache Ausdrücke für 
den Sinus des sphärischen Dreiecks und seines Polardreiecks. Es läßt 
sich aber zeigen, daß diese Ausdrücke auch eine bloße Folge der Glei- 
chungen (15) und (16) sind, sobald zwischen den Größen %g, %,, X, Ts 
Yo Yır Ya, Ys die Gleichungen (5) und die Gleichung (11) bestehen. 
Es ist nämlich: 
; ‚ 8] 4 DL 8% X, X 4 VYoYı Ya Ys . 
sin b - sin c - sin x = (ee Pa a ) a