442 824. Die Radien der In- und der Umkreise eines sphärischen Dreiecks usw. 
genten der Radien seiner Berührungskreise ergeben sich aus den Gleichungen 
(5), die Seiten und die Winkel aus den Gleichungen (13) und (14). 
Daraus geht weiter hervor: 
„Zwei sphärische Dreiecke, die in den Radien der ihren Neben- 
dreiecken umgeschriebenen Kreise übereinstimmen, brauchen nicht kon- 
gruent zu sein. Sobald aber zwei nicht kongruente Dreiecke gegeben 
sind, die in diesen Stücken übereinstimmen, ist jedes dritte Dreieck, zu 
dem dieselben Radien gehören, einem der beiden gegebenen kongruent.“ 
Um zu erkennen, ob die gegebenen Strecken r7,, 7/2, 73 die Radien 
der Kreise sind, die um die Nebendreiecke eines sphärischen Dreiecks 
beschrieben werden können, bildet man für %, = tg 7,, % = 197,, X = gr; 
die Diskriminante der Gleichung (12), indem man darin die Größe x, 
als Unbekannte ansieht, Ist die Diskriminante negativ, so existiert kein 
Dreieck der verlangten Art. Dagegen genügen jedesmal zwei Dreiecke 
der Aufgabe, wenn die Diskriminante positiv ist. Das Verschwinden 
der Diskriminante sagt an sich nur aus, daß zwei Wurzeln der Gilei- 
chung (12) einander gleich sind. Nun können aber zwei negative 
Wurzeln nur dann einander gleich sein, wenn unter den Größen z;, 
Xa, X mindestens zwei einander gleich sind. Demgemäß können wir 
sagen: Werden die Größen x,, %, X SO gewählt, daß sie alle drei von 
einander verschieden sind und die Diskriminante von (12) verschwindet, 
so entspricht dieser Wahl jedesmal ein einziges Dreieck. Wenn aber 
negative Wurzeln einander gleich sind, so trennt sich von der Gleichung 
‘12) ein Faktor ab, der nur für diese Wurzeln verschwindet; man hat 
also nur die Diskriminante des übrigbleibenden Faktors zu bilden, die 
durch ihr Vorzeichen die Anzahl der entsprechenden Dreiecke bestimmt. 
Die Gleichungen (13) — (16) führen nicht in der einfachsten Weise auf die Seiten 
ınd die Winkel des Dreiecks, für das die Größen x), X,, X, X%g die geforderte Be- 
deutung haben, Man kann aber etwa zuerst nach den Gleichungen (8) und (9) die 
Größen D und 4A bestimmen. Alsdann ist: 
2sins,=D-y1, 28sins,=D-y,, 2sins,=Dy., 28ins = Dy;, 
2sin 2 = 4:2, 2sin 2 = Ar, 2 sin 2 = 2%, 28in 2 = I&,. 
Zwar werden hie: durch die gesuchten Größen nicht eindeutig bestimmt... Um 
eindeutige Resultate zu erhalten, hat man eine solche Wahl zu treffen, daß ist: 
= tee rar fr 180°0. 
and 
Auf die Diskriminante unserer Gleichung gehen wir nicht näher ein. Nur eine 
Bemerkung sei gestattet. Nach den letzten Gleichungen besteht für jede Permu- 
;ation x, 2, @, v der Marken 0, 1, 2, 3 die Beziehung: 
. E 
X, X, sin -f sin 7 =1. 
Soll sich also aus den Größen x;, X,, x ein Dreieck ermitteln lassen , so müssen 
die Produkte x, X, Xs Xı, X, X sämtlich größer sein als eins.