446 824. Die Radien der In- und der Umkreise eines sphärischen Dreiecks usw. 
sich um eines seiner Nebendreiecke beschreiben läßt, zwischen r' und 7” 
enthalten ist; ebenso wird der Radius eines Ankreises durch die Grenzen 
o’' und 9" eingeschlossen.“ 
Man kann dies Resultat noch anschaulicher aussprechen, wenn man 
den folgenden Lehrsatz benutzt: | 
„Wenn ein sphärisches Dreieck einem Kreise (KX)r ein- und einem 
Kreise (0)9g umgeschrieben ist, so genügt die Strecke X 0=e der Gleichung: 
sin”e= sin r.cos 9 (sin r-cos go — 2cosr-sino). 
Sobald umgekehrt diese Gleichung befriedigt wird, können unend- 
lich viele Dreiecke zugleich dem ersten Kreise ein- und dem zweiten um- 
geschrieben werden.“ 
Indem wir diesen Lehrsatz, dessen Beweis wir dem Leser überlassen 
müssen, voraussetzen, schließt sich an unsere Untersuchung eine ähn- 
liche Erwägung, wie wir auf S. 117 im Anschluß an die Formel (d) 
durchgeführt haben. 
4. Bestimmung eines sphärischen Dreiecks aus 7, 71, Q2. 
Wenn von einem sphärischen Dreieck die Stücke 7, 7,, 9, gegeben sind, so 
Jürfen wir im Anschluß an (5) ansetzen: 
X = M + D, X —M—PD, Yı= m + g, Yı = M — 9, 
Yo= 0 — DD Yı=0+ RD, %=0—9, %=0FG, 
WO D, q, m gegeben sein sollen und v gesucht wird. Nach (11) ist v eine 
Wurzel der Gleichung: 
(m? — x? (m?— 9”) (v?— p?) (v?—g?) — (0° + m? nt g‘) (mv? — n?g?) = 
Indem wir die linke Seite dieser Gleichung mit f(v®) bezeichnen, wird: 
f(p°)=— pm — q), f(d*) = — q* (m? —p*)?, 
f(p* + g*— m*) = (m* — np”)? (m? —q?)?. 
Demnach genügt unserer Gleichung ein Wert von v%, der zwischen 
p* + g’— m* und dem kleineren der Werte y?, g* liegt. Wenn aber den 
gegebenen Stücken ein Dreieck entsprechen soll, so muß die Gleichung 
eine Wurzel haben, die größer ist als p? und g°. Demnach muß in diesem 
Falle f (v*) für hinlänglich große Werte von vw? einen positiven Wert 
haben, oder es muß sein: 
(m®* — w?*) (m? — q°) > m. 
Sobald umgekehrt diese Bedingung befriedigt wird, hat die Aufgabe 
eine einzige Lösung, die auf elementarem Wege gefunden werden kann. 
Auch sind alle Dreiecke kongruent, die in den Stücken vr, r,, 92 oder 
09, 91,72 übereinstimmen. 
Aus der Bedingung für die Realität des Dreiecks lassen sich wieder 
geometrische Lehrsätze herleiten. Die Methode, nach der sie gewonnen 
werden, stimmt mit der in Nr. 3 angewandten überein.