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16 8 8. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
die Drehung, durch die der erste Schenkel in den zweiten übergeführt 
wird, im positiven oder im negativen Sinne erfolgt. Da es sich hierbei 
nur um die gegenseitige Lage der Schenkel handelt, kommen Unter- 
schiede von vier Rechten nicht in Betracht. Man braucht daher nur 
den hohlen Winkel zu beachten; man darf mit anderen Worten den 
Winkel kleiner als 180° voraussetzen. Nur muß man ihm das positive 
oder das negative Vorzeichen beilegen, je nachdem der zweite Schenkel 
auf der positiven oder der negativen Seite des ersten Schenkels legt. 
Daß es wichtig ist, den Schüler auf den Sinn eines Winkels, eines 
Dreiecks usw. achten zu lassen, haben wir im ersten Bande oft hervor- 
zehoben. Wir möchten daher empfehlen, bei der Ermittlung der Größe 
von Winkeln auch das Vorzeichen zu bestimmen. Der Nutzen, der aus 
derartigen Übungen erwächst, ist hauptsächlich geometrischer Natur. 
Derartige Bestimmungen dienen aber auch dazu, die Sätze über die 
srigonometrischen Funktionen negativer Winkel an der Figur zu er- 
läutern. 
Hierbei benutzt man die beiden Gesetze: 
a) Liegen die drei Punkte L, M, N in gerader Linie und liegt ein 
vierter Punkt R auf der positiven Seite der Geraden LM, so hat jedes- 
mal der Winkel (LM, NE) einen positiven Wert, 
b) Sind 4, B, C, D, E, F beliebige Punkte der Ebene, so ist: 
X (AB,CD)+(CD,EF)=(4AB, EF). 
Aus dem zweiten Gesetze gehen für besondere Lagen der Punkte 
einige weitere Sätze hervor, von denen wir die folgenden beiden er- 
wähnen; X (AB, CD) + (CD, AB) =0 
X (4B.CD)+ (CD, BA) = 180° 
Um den Sinn der Ebene festzulegen, gehen wir von einem Dreieck 
ABC aus und setzen fest, daß der Punkt C auf der positiven Seite der 
Geraden AB liegen soll. Dann haben die Winkel BAC, CBEA, ACB 
oositive Werte, die mit, «, ß, y bezeichnet werden sollen. 
Sind A’, B', C’ die Fußpunkte der Höhen, so ist nach a): << (BC, 4'4) 
= 90°, also nach b): < BAA'= (AB, A4A')=(AB,CB)+(CB,4AA') 
= (BC, A'A) — (BC, BA)= 90° — ß. 
In gleicher. Weise erhält man die Gleichungen: 
X CBB'=90°— 74 X ACCU =90°— & 
X AAC=90°— 7 X B'BA=90°— « 
3 C’CA =90° — ß. 
N 
no 
X 
4 
7. 
Dem Umkreis (X) des Dreiecks legen wir den durch den Sinn des 
Dreiecks bestimmten Sinn bei. Dann wollen wir unter dem Bogen BC 
Jen positiven Bogen verstehen, der B zum Anfangs- und € zum End-