30 & 3. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
Man kann aber auch aus den mitgeteilten Gleichungen Ausdrücke 
für die Seiten entwickeln, die zwar für die numerische Berechnung sich 
weniger eignen, aber doch beachtenswert sind; es sind dies: . 
= (0 — 0) (0, + 0) = (02— 0) (0s +01) = (0: — 0) (01 + 02) 
Zu einer weiteren Reihe von Formeln führt folgende Erwägung. Es 
sei 0 der Schnittpunkt der Halbierungslinien der Innenwinkel an 4 und 
an B. Wendet man den Sinussatz auf das Dreieck A OB an, so ergibt 
sich, weil & 40B=180°— 2 £ 90° + Z ist, die Gleichung: 
(7) A0=4rsin£ sin. 
Dieser Ausdruck ist gleichmäßig in den Winkeln ß und 7. Demnach 
erhält man dieselbe Länge für 40, wenn man O als Schnittpunkt der 
Ialbierenden der Winkel an 4 und an C betrachtet. Die Formel (7) 
bestätigt somit den Satz, daß die Halbierenden der Innenwinkel eines 
Dreiecks durch einen Punkt gehen. 
Aus der Formel (7) folgt rein geometrisch: 
(8) 0o=4r sin “ sin £ sin Do s, = 4r cos © sin £ sin x. 
Ebenso sei 0, der Punkt, in dem die Halbierende des Innenwinkels 
an A mit der Halbierenden des Außenwinkels an B zusammentrifft. Da 
X A0,B = 180° — $ — (90° +5) — X jst, so ergeben sich in ent- 
sprechender Weise die Gleichungen: 
(9) 40, = 4r cos f cos £ 9, =4r sin z cos E cos £ 
_ “ os £ cos 7. 
s=4r cos 5 CoS 5 COS 5 
Diese Formeln können auch durch bloße Rechnung hergeleitet werden. 
Es ist: 
5 1 (a +4+d +0) =r (ein « + sin ß + sin y) = 4r cos 5 008 5 cos % 
= = (—a+b+0)=r(—sinx+sinß + sin y)=4rcos sin sin. 
Daraus gehen die weiteren Gleichungen hervor, indem man die Be- 
ziehungen. beachtet: 
= 5185 0 = 8:1 57 A0 =, : cos 5 A0,=58:c0s 5 
Durch Verbindung von (8) und (9) erhalten wir die Gleichungen: 
‘10) 91 — o=4r.sin? 5 02 + 03 = 4r + cos? St