Berührungskreise des Dreiecks 51
Dadurch werden wir auf die merkwürdige Beziehung geführt:
11) 4r= 09, + © + 93 — ©.
Wr
Die Gleichungen (2) und (11) gestatten uns, wenn irgend drei der
fünf Größen r, 9, 01, 92, 03 gegeben sind, die beiden fehlenden zu berechnen
und dadurch das Dreieck zu bestimmen.
Auch die Gleichungen (10) können aus der Figur abgelesen werden.
Die Mitte D der Strecke 00, und die Mitte £ der Strecke 0, O, liegen
auf dem Umkreise des Dreiecks ABC und halbieren die beiden in den
Punkten B und € begrenzten Bogen (I 8 18, 7 S. 331). Daher ist, wenn
aoch die Mitte der Seite BC mit M bezeichnet wird:
BD=2rsin 5 DM=2r sin? 5
BE=2r.cos 5 EM =2r 008? 5
Es ist aber auch:
1 ; .
DM= (0-0), ME=1(0 +0) DM +ME=DE=2r.
Hiernach ergeben sich wieder die Gleichungen (10) und (11).
Aus den Gleichungen (8) und (9) erhält man noch die Formeln:
9, + o=4r sin © cos £ 7, 02 — 0, =4r cos £ sin “77,
die ebenfalls manche Anwendungen zulassen.
5. Die Höhen eines Dreiecks. Die Fußpunkte der Höhen mögen
mit A', B', C', die Mitten der Seiten mit 4,, B,, C,, der Höhenpunkt
möge mit H, der Mittelpunkt des Umkreises mit X bezeichnet werden.
Fassen wir H als Schnittpunkt der von 4 und B ausgehenden Höhen
auf, so geht aus der Proportion: AH: AB = cos « : sin y die Gleichung
hervor:
(12) AH=2r.cos «a,
A
5%
SE
SO
® nl
&
a
6
Bet „x *
a
€
a
er
a
I
FT
SF
fg“
E
Ss
0
x
A
If
a
ur
Sa
Ka
af
rn
At
En
A
N:
aM
ha I
a
A
die ebenfalls zeigt, daß auch die dritte Höhe durch H geht.
Da KA, =r-cos « ist, sehen wir, daß AH = 2KA, ist. Das geht
auch ‚aus dem Beweise hervor, den Steiner für den KEulerschen Satz
der Dreieckslehre angegeben hat (I S. 330). Der Schwerpunkt des
Dreiecks ABC ist der Ähnlichkeitspunkt der Dreiecke 4, B,C, und ABC
nach der Zahl — 2. Nun ist der Punkt X Höhenpunkt für das Drei-
eck A, B,C,. Daher ist AH=-—2.4,K =2KA\..
Ferner ergeben sich die Gleichungen:
‘13)
Sn (AA =—b-sin y = 2r sin f ein y,
| HA' = CH-cos ß =2r cos ß cos 7,
(BA'=c-.cos ß=2r cos ß sin 7.
