Der Stewartsche. Satz 
Hier kann der Punkt P eine ganz beliebige Lage erhalten, ohne daß der 
Wert von ® sich ändert. Es ist m = X m,. Der Punkt S kann dadurch 
zefunden werden, daß man die Strecke S'S" nach dem Verhältnis 
m: m teilt. 
Besteht aber umgekehrt zwischen den Entfernungen eines beliebigen 
Punktes P von den n +1 Punkten 4,, 4,,....4., S die Beziehung (16) 
in der Weise, daß die Größe ® von der Wahl des Punktes P unabhängig 
ist, so kann man dadurch % + 1 weitere Gleichungen erhalten, daß man 
den Punkt P der Reihe nach mit einem der Punkte Ay... A.,S zusammen- 
fallen läßt. Diese Gleichungen gestatten, die Größen AS, AS, ... AnS 
ınd ® durch die Strecken A, Az, 4, As, ... 4An—ı 4A» darzustellen, durch 
die je zwei Punkte 4, miteinander verbunden werden, Es wird: 
(17) m: BD = SE . Au4,‚*, 
Us V 
wo durch u, v die verschiedenen Paare der Marken 1, 2,...% dargestellt 
werden. Ferner ist: 
m: AS = mM Ay Al + mz Ay At FF... Ma A, 4A usw. 
Es gibt also nur einen einzigen Punkt S, für den die Gleichung (16) 
vestehen ‚kann. ‚Dieser Punkt ist unabhängig von den Teilmengen A, 
and A";, mit deren Hilfe wir ihn zunächst bestimmt haben. Wir dürfen 
demnach die Summe XZm;-4A,P? in beliebiger Weise in Teilsummen 
zerlegen und jede Teilsumme in der Weise der Gleichung (16) darstellen. 
Der Ausdruck für die Gesamtsumme enthält stets denselben Punkt S 
und denselben Wert von ®. 
Um diese Beziehungen und die Folgerungen, die aus der Gleichung 
(16) hervorgehen, bequem aussprechen zu können, bezeichnen wir den 
Koeffizienten m, als die Masse des Punktes A, und den Punkt S als den 
Schwerpunkt der Massenpunkte A4,, 4,,... A. Wir zerlegen die Ge- 
s3amtheit der Punkte A4,,... 4» in zwei Teilmengen A', und A";, von 
denen die erste w', die zweite % Punkte enthalten möge. Es sei S’ der 
Schwerpunkt der ersten, S” der Schwerpunkt der zweiten Menge. Legen 
wir jetzt dem Punkte S’ die Masse m' — Zm', und dem Punkte S” die 
Masse m = Zm'; bei, so ist nach den durchgeführten Entwicklungen 
jedesmal der Punkt S der Schwerpunkt der Punkte S' und S". 
Nachdem die % Punkte 4,,-4,,... 4» fest gewählt sind und jedem 
ein bestimmter Koeffizient m,, Ma, .-. Mn beigelegt ist, gibt es immer, 
wenn nur die Summe m = m, ++ Mn Von null verschieden ist, 
einen einzigen Punkt S, dessen Entfernung von einem beliebigen Punkte P 
des Raumes mit den Entfernungen A, P, A,P,...4,P in der durch die 
GHeichung (16) angegebenen Beziehung steht. Dieser Punkt S ist der 
Schwerpunkt des Systems, wenn jedem Punkte A, die Masse m, bei- 
gelegt wird. 
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