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56 8 3. Trigonometrische Beweise geometrischer Sätze 
Wir wollen speziell annehmen, die Koeffizienten mM,,...M„ seien 
sämtlich positiv. Dann kann m weder gleich null noch negativ sein. Der 
yeometrische Ort des Punktes P, für den die Summe 
m. AP? + m AP? 4... + Mn: AP? 
einen konstanten Wert annimmt, ist eine Kugel, die um den Schwer- 
punkt der % Massenpunkte als Mittelpunkt beschrieben werden kann. 
Diese Summe nimmt ihren kleinsten Wert für den Schwerpunkt selbst, 
den gemeinsamen Mittelpunkt aller derartigen Kugeln an. Der kleinste 
Wert ist gleich ® und wird durch die Gleichung (17) bestimmt. 
Es sei gestattet, die einfachsten Folgerungen anzugeben, die aus 
den durchgeführten Entwicklungen hervorgehen. 
Sind zwei Punkte 4 und B gegeben, so nimmt die Summe A P* + BP? 
ihren kleinsten Wert an, wenn P mit der Mitte der Strecke A 5 zusammen- 
fällt; der geometrische Ort des Punktes P, für den diese Summe einen 
konstanten Wert erhält, ist eine Kugel, die um die Mitte der Strecke als 
Mittelpunkt beschrieben wird. 
Wenn drei Punkte zu Eckpunkten eines Dreiecks ABC gewählt 
and die Koeffizienten sämtlich gleich eins gesetzt werden, so gehen aus 
Jen vorstehenden Entwicklungen die bekannten Sätze über den Schwer- 
punkt eines Dreiecks hervor. Der geometrische Ort eines Punktes P, 
für den die Summe der Quadrate der Abstände von den Ecken des Dreiecks 
einen konstanten Wert hat, ist eine Kugel, die um den Schwerpunkt des 
Dreiecks als Mittelpunkt beschrieben wird. Diese Summe nimmt ihren 
zleinsten Wert 5 (BC? + CA? + AB*) für den Schwerpunkt an. 
Um die entsprechenden Sätze für vier Punkte 4, B, C, D des Raumes 
bequem aussprechen zu können, machen wir Gebrauch von dem Satze, 
daß der Schwerpunkt der vier Ecken eines Tetraeders mit dem des 
Tetraeders zusammenfällt, wenn den Punkten gleiche Massen beigelegt 
and das Tetraeder als homogen vorausgesetzt wird. Hiernach gelten die 
folgenden Sätze: Jede Strecke, die einen Eckpunkt des Tetraeders mit 
dem Schwerpunkt des gegenüberliegenden Dreiecks verbindet, geht durch 
den Schwerpunkt des Tetraeders und wird in ihm nach dem Verhältnis 3:1 
geteilt. In diesem Punkte wird auch jede Strecke halbiert, welche die 
Mitten von zwei Gegenkanten des Tetraeders verbindet. 
Die Summe AP? + BP! + CP?! + DFP? erhält ihren kleinsten Wert, 
wenn der Punkt P der Schwerpunkt des Tetraeders ABCD wird; dies 
Minimum ist gleich dem vierten Teile der Summe aus den über den 
Kanten beschriebenen Quadraten. Der geometrische Ort des Punktes, 
für den jene Summe einen konstanten Wert annimmt, ist eine um den 
Schwerpunkt beschriebene Kugel. 
Zum Schluß erwähnen wir eine einfache Anwendung des Kosinus- 
3aatzes.