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Die merkwürdigen Punkte eines Dreiecks 59 
Ersetzt man . 
167? sin f sin S cos Et durch 4r? sin ß sin.y + 16r* sin? ß sin? %, 
so erhält man: 
00H? = 167? sin? ß sin? X (1 — cos «) + 4r? cos « (cos « — sin ß sin 
2 2 V 
= 327? sin? z sin? £ sin? X — 4r? cos « [cos (ß + 7) + sin ß sin 7] 
= 327? sin? S sin? E sin? T — 47? cos « cos ß cos / 
oder: 
(21) O0H?= 20? — 4r? cos « cos ß cos 7. 
Diese Formel kann man für ein spitzwinkliges Dreieck in der Ge- 
stalt schreiben: 
> (21a) OH?=20?—2rg', 
während sie für ein stumpfwinkliges Dreieck die Form annimmt: 
(21b) OH?=20?+ 270. 
In gleicher Weise ergibt sich die Formel: 
(22) 0,H?= 20,?— 4Ar* cos « cos ß cos 7, 
Jie wir für ein spitzwinkliges Dreieck durch die Gleichung: 
0,H?=20,?—2rg' 
and für ein stumpfwinkliges Dreieck durch die Gleichung: 
0,.H?=29,3+2r0' 
ersetzen können. 
Man hat vielfach die Berechnungen enger an geometrische Kigen- 
schaften. der Figur angeschlossen, dabei aber, soweit wir sehen können, 
nur das spitzwinklige Dreieck betrachtet. Man kann hierbei freilich die 
Rechnung abkürzen, muß aber, wenn man allgemein gültige Resultate 
arhalten will, das spitzwinklige und das stumpfwinklige Dreieck ge- 
sondert betrachten. 
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8. Geometrische Folgerungen aus den entwickelten For- 
meln. Wir wollen: die gefundenen Formeln benutzen, um einige geo- 
metrische Sätze zu beweisen. 
a) Schon in I. 89, 8 (S. 167) haben wir darauf hingewiesen, daß es nicht möglich 
ist, mit elementaren Hilfsmitteln ein Dreieck zu konstruieren, von dem die Lage 
der drei Punkte H, K, O gegeben ist. Wir möchten hier nochmals auf diese Frage 
singehen. Da wir die Analysis an ein spitzwinkliges Dreieck ABC anschließen 
dürfen, benutzen wir die Gleichungen (18), (20a) und (21 a). Hiernach können wir aus 
den bekannten Entfernungen der Punkte H, K, 0 voneinander die Größen r, 0, o' be- 
rechnen. Setzen wir HK=1, 0OK=m, 0H=n, so wirdm*=r*— 279, U=y? 470), 
n?=20?—2ro', und demnach: 
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am Lan! —