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8 2. Stromlinien, Eulersche Gleichungen, Kontinuitätsgleichung. 
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8 2. Stromlinien, Eulersche Gleichungen, 
Kontinuitätsgleichung. 
In einem Punkte P (x, y, z) einer strömenden Flüssigkeit möge die 
Jeschwindigkeit durch den Vektor v mit den Komponenten v„, vy, U, 
zegeben sein. Wir folgen dem Vektor v bis zu einem benachbarten 
Punkte P, (x +4x, y+4y, z+4z), von diesem aus wieder dem 
dortigen Vektor bis zu einem benachbarten Punkt P, usw. Auf diese 
Weise erhalten wir einen Polygonzug PP, P,..., der beim Grenz- 
übergang in eine Kurve übergeht, die wir als Stromlinie bezeichnen 
wollen. Wenn wir den Ausgangspunkt verändern, so werden wir andere 
und andere Stromlinien erhalten und so den ganzen Flüssigkeitsraum 
durch eine doppelt unendliche Mannigfaltigkeit von Stromlinien erfüllen. 
Die Gleichung der Geraden, auf der der Vektor v liegt, ist, wenn €, 
n, E die laufenden Koordinaten bezeichnen, ; 
n—y SR 
vz 
and da auf dieser Geraden der Punkt P, (x +4x, y+4y, z-+47z) 
iegt, so erhalten wir beim Grenzübergang vom Polygon zur Kurve: 
dx dy _ dz 
Um vy vg) 
die Differentialgleichungen der Stromlinien. Die Theorie der Differential- 
zleichungen zeigt, daß singuläre Punkte, d. h. solche Punkte, in welchen 
Stromlinien einander schneiden, nur Punkte sein können, in welchen 
alle drei Komponenten der Geschwindigkeit, also die Geschwindigkeit 
selber zu Null. wird. Solche Punkte werden Staupunkte genannt. In 
einem bestimmten Augenblick werden die Stromlinien in jedem ihrer 
Punkte die Richtung der Strömung angeben, aber dieses Bild wird im 
allgemeinen mit der Zeit veränderlich sein, wir werden also dann nicht 
sagen können, daß die Stromlinien die Bahnen angeben, welche die 
Flüssigkeitsteilchen wirklich beschreiben. Aber wenn der Strömungs- 
zustand stationär geworden ist, sich also mit der Zeit nicht mehr ver- 
ändert, d.h. also, wenn sich der Geschwindigkeitsvektor zwar von 
Punkt zu Punkt durch den Strömungsraum ändert, in jedem Punkte 
aber zeitlich unverändert bleibt, haben auch die Stromlinien eine zeitlich 
anveränderliche Gestalt und geben dann die wirklichen Bahnen der 
Flüssigkeitsteilchen an. Meist werden wir es mit stationären Strömungs- 
zuständen zu tun haben. 
Wir greifen nun irgendeine Stromlinie heraus und legen. durch einen 
ihrer Punkte senkrecht zur Tangente, also zur Richtung des Vektors v, 
sin Flächenelement df; durch jeden Punkt von df legen wir sodann die 
zugehörige Stromlinie hindurch. Die Mitglieder eines solchen Strom- 
linienbündels werden sich von der Ausgangslinie nur wenig entfernen und, 
solange vv von Null verschieden bleibt, werden sie auch voneinander 
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