§ 5. Freie Parallelprojektion. Nr. 155. 
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d. h. wir nehmen die Spitzen S x und S 2 beliebig auf T x T 2 an. In Fig. 222 
liegt eine Parallelprojektion davon vor. Entgegen dem bisher geübten 
Brauch haben wir der Bequemlichkeit wegen darin dieselben Bezeich 
nungen wie beim wirklichen, räumlichen Gebilde angebracht; eine Ver 
wechslung ist ja nicht zu befürchten. Nun erhellt: Falls die Punkte A, 
B, T x , T 2 die Parallelprojektionen der Ecken eines bestimmt im Raume 
angenommenen Vierflachs sind, haben auch die beiden Grund Vielecke 
und die beiden Pyramidenspitzen auf Grund der Zeichnung vollkommen 
bestimmte Lagen auf zwei Vielflachebenen bzw. auf einer Vierflach 
kante, d. h. das Gebilde, das aus den so auf das Vierflach bezogenen 
beiden Pyramiden besteht, gestattet die freie Parallelprojektion. Dies 
zieht nach sich, daß man in Fig. 222 die Durchdringung beider 
Pyramiden zu zeichnen vermag, wie es jetzt geschehen soll. 
Die Linie oder die Linien, in denen sich die Pyramidenmäntel durch 
setzen, werden geschlossene und im allgemeinen nicht ebene Vielecke sein. 
Ihre Kanten sind Strecken, in denen die Dreiecke der Pyramiden einander 
schneiden, und ihre Ecken sind die Punkte, in denen die Kanten der ersten 
oder zweiten Pyramide den Mantel der zweiten oder ersten Pyramide 
schneiden. Da alle Kanten von S x oder S 2 ausgehen und alle Dreiecks 
flächen den Punkt S x oder S 2 enthalten, verwendet man zur Bestimmung 
der Durchstoßungspunkte zweckmäßig Hilfsebenen durch die beiden 
Spitzen S x und S 2 , d. h. durch die Gerade T x T 2 . Jede Ebene durch T x T 2 
schneidet die Grundebenen Ej und E 2 in Geraden, die sich auf AB 
treffen. Eine derartige Ebene enthält eine Kante der ersten oder zweiten 
Pyramide, falls ihre Schnittgerade mit E x oder E 2 durch einen Kanten 
endpunkt geht. Die Fig. 223, die in größerem Maßstab gehalten ist und 
worin die willkürlichen Umrandungen der Ebene E x und E 2 als über 
flüssig fortgelassen sind, weist alle diejenigen Hilfsebenen durch T x T 2 
auf, die Pyramidenkanten enthalten. Auch sind darin die Schnittgeraden 
dieser Ebenen mit E x und E 2 ausgezogen sowie diejenigen Geraden ein 
gestrichelt, in denen die Ebenen die Dreiecksflächen der Pyramiden 
schneiden. Es leuchtet ein, wie sich daraus alle Punkte ergeben, in denen 
die Kanten der ersten oder zweiten Pyramide den Mantel der zweiten 
oder ersten Pyramide durchsetzen. 
Diese Punkte bestimmt zu haben, genügt aber nicht; es 
muß noch festgestellt werden, in welcher Reihenfolge diese 
Eckpunkte der gesuchten Durchdringungslinie aufeinander 
folgen. Es ist also noch zu erörtern, durch welches Verfahren man zu 
der in Fig. 223 angegebenen richtigen Reihenfolge 1,2,3... 15, 1 ge 
langt. Da die Hilfsebenen sämtlich durch T X T 2 gehen, gehören sie einem 
sogenannten Ebenenbüschel mit der Achse T x T 2 an. Durchläuft 
ein Punkt die noch zu ermittelnde Durchdringungslinie der Pyramiden 
mäntel, so macht die durch ihn und durch T x T 2 gelegte Ebene Drehungen 
um die Achse T x T 2 in dem einen oder anderen Sinne. Man nennt 
deshalb die Hilfsebenen Pendelebenen. Es kommt darauf an, festzu 
stellen, mit was für Ausschlägen nach der einen oder anderen Seite hin 
das Pendeln um T x T 2 stattfindet. Dabei nehmen wir zur Vereinfachung 
des Ausdruckes an, daß A vorn und B hinten auf AB sei; dies ist ge 
stattet (Nr. 147) und auch schon in Fig. 222 geschehen. Diese Annahme 
zieht nach sich, welche Ecken der Grundvielecke und also auch welche 
Kanten der Pyramiden vorn und welche hinten liegen. Die vorderste